关于费马素数尺规作图

数学星空

1796年18岁的Gauss给出正17边形能用尺规作图的证明。这样，他把等分圆周的尺规作图从几何问题归结为代数问题。Gauss多才多艺，兴趣广泛，在1795年去德国名校哥廷根大学读书时还为选什么专业而犹豫，他对正17边形的尺规作图使他决定终生以数学为职业。这才有了伟大的、令后人仰视的Gauss。

五年以后，即1801年Gauss又彻底解决了等分圆周问题：高斯定理

【正n边形可以尺规作出的的充分必要条件是

n＝2^m×p1×p2×……×pr】

即正n边形可以尺规作出当且仅当n是Fermat素数和2的幂之积。可得只有Fermat数当中的素数正p边形可以尺规作出。

这里n的前半部分因子2m也可以没有，后半部分因子p1p2……pr也可以没有，也可以是它们的组合。

其中诸pi是Fermat素数：pi＝2^（2^k）＋1，

比如k＝0、1、2、3、4时的Fermat数为3，5，17，257，65537（这5个也真的是素数）。

这个充分必要条件由Gauss给出充分性的证明，P.L.Wantze（范齐尔，1814～1848，法国）在1837年给出必要性的证明。这样一来，我们把300以内的可以尺规作出的正n边形列出（37个）：

3，4，5，6，8，10，12，15，16，17，20，24，30，32，34，40，48，51，60，64，

85，96，102，120，128，136，160，170，192，204，240，255，256，257，272。

关于Fermat数：它并不真的是素数。Fermat曾猜想具有上述形式的数都是素数（这是Fermat诸多猜想中唯一一个错误猜想，欧拉在1732年算出k＝5时2³²＋1＝641×6700417是合数，其中6700417＝2×52347×26＋1）。

Fermat素数：费马数当中的素数，目前仅知费马数中的前五个是素数，即3，5，17，257，65537。

上面说到Fermat数257和65537都是素数，1832年德国人F.J.Richelot给出了正257边形的尺规作图全过程，手稿达80余页。德国的另一个教授O.Hermes以十年之功研究正65537边形的尺规作图，终得正果，其手稿可以装满一个手提箱。
Cos(360 °/17)=-1/16 + (1/16)√17 + (1/16)√(34-2√17) +
+1/8√[17 + 3√17 - √(34-2√17) - 2√(34 + 2√17)]
现在请问如何求得cos(PI/257),  cos(PI/65537),....的解析式如何求得,能写出来吗?