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楼主: zuijianqiugen

[悬赏] 小球装盒的问题

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发表于 2018-2-11 11:18:50 | 显示全部楼层
补充一下 `n=5`的结果,方便以后直接使用。\[p_{=5}(m)=\frac{m(m+5)(m^2+5m-15)}{2880}-\frac{1849}{86400}-\frac{(-1)^m}{128}(2m+5)-\frac{2}{27}\sin\frac{(4m+1)\pi}{6}+\frac{1}{8\sqrt{2}}\sin\frac{(2m+1)\pi}{4}+\frac{2}{25}\left(\cos\frac{2m\pi}{5}+\cos\frac{4m\pi}{5}\right)\]
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-2-13 15:45:27 | 显示全部楼层
kastin 发表于 2018-2-11 11:18
补充一下 `n=5`的结果,方便以后直接使用。\

kastin!求知欲所驱,我还是很想知道。\(m\)表示足够大的数。

\(\D\frac{P=2(m)}{m}=\frac{1}{2}\)

\(\D\frac{P=3(m)}{m^2}=\frac{1}{12}\)

\(\D\frac{P=4(m)}{m^3}=\frac{1}{144}\)

\(\D\frac{P=5(m)}{m^4}=\frac{1}{2880}\)

\(\D\frac{P=6(m)}{m^5}=\frac{1}{?}\)

\(\D\frac{P=7(m)}{m^6}=\frac{1}{?}\)

\(\D\frac{P=8(m)}{m^7}=\frac{1}{?}\)

\(\D\frac{P=9(m)}{m^8}=\frac{1}{?}\)

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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-2-14 12:00:21 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2018-2-13 15:45
kastin!求知欲所驱,我还是很想知道。\(m\)表示足够大的数。

\(\D\frac{P=2(m)}{m}=\frac{1}{2}\)

这个问题值得研究。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-2-14 13:03:52 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2018-2-13 15:45
kastin!求知欲所驱,我还是很想知道。\(m\)表示足够大的数。

\(\D\frac{P=2(m)}{m}=\frac{1}{2}\)

这个极限行为很好分析。我们直到问题对应有序解的数目$x_1+x_2+...+x_n=m$
其中在m充分大时,其中$x_i=x_j$的情况的解的数目是低阶无穷小,可以忽略不计。
所以无序解大概是有序解的$n!$倍。
而无序解的数目很简单,就是$C_{n+m-1}^{n-1}$,所以有序解数目约等于${C_{n+m-1}^{n-1}}/{n!} ~= {m^{n-1}}/{n!(n-1)!}$

点评

谢谢mathe!这串数是:2,12,144,2880,86400,3628800,203212800,14631321600,.....太好了!  发表于 2018-2-14 15:03
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2018-2-14 20:14:19 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2018-2-14 13:03
这个极限行为很好分析。我们直到问题对应有序解的数目$x_1+x_2+...+x_n=m$
其中在m充分大时,其中$x_i=x ...

此解答甚妙,点赞!
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