小球装盒的问题

kastin

补充一下 `n=5`的结果，方便以后直接使用。\[p_{=5}(m)=\frac{m(m+5)(m^2+5m-15)}{2880}-\frac{1849}{86400}-\frac{(-1)^m}{128}(2m+5)-\frac{2}{27}\sin\frac{(4m+1)\pi}{6}+\frac{1}{8\sqrt{2}}\sin\frac{(2m+1)\pi}{4}+\frac{2}{25}\left(\cos\frac{2m\pi}{5}+\cos\frac{4m\pi}{5}\right)\]

王守恩

kastin 发表于 2018-2-11 11:18
补充一下 `n=5`的结果，方便以后直接使用。\

kastin！求知欲所驱，我还是很想知道。\(m\)表示足够大的数。

\(\D\frac{P=2(m)}{m}=\frac{1}{2}\)

\(\D\frac{P=3(m)}{m^2}=\frac{1}{12}\)

\(\D\frac{P=4(m)}{m^3}=\frac{1}{144}\)

\(\D\frac{P=5(m)}{m^4}=\frac{1}{2880}\)

\(\D\frac{P=6(m)}{m^5}=\frac{1}{?}\)

\(\D\frac{P=7(m)}{m^6}=\frac{1}{?}\)

\(\D\frac{P=8(m)}{m^7}=\frac{1}{?}\)

\(\D\frac{P=9(m)}{m^8}=\frac{1}{?}\)

shufubisheng

王守恩 发表于 2018-2-13 15:45
kastin！求知欲所驱，我还是很想知道。\(m\)表示足够大的数。

\(\D\frac{P=2(m)}{m}=\frac{1}{2}\)

这个问题值得研究。

mathe

王守恩 发表于 2018-2-13 15:45
kastin！求知欲所驱，我还是很想知道。\(m\)表示足够大的数。

\(\D\frac{P=2(m)}{m}=\frac{1}{2}\)

这个极限行为很好分析。我们直到问题对应有序解的数目$x_1+x_2+...+x_n=m$
其中在m充分大时，其中$x_i=x_j$的情况的解的数目是低阶无穷小，可以忽略不计。
所以无序解大概是有序解的$n!$倍。
而无序解的数目很简单,就是$C_{n+m-1}^{n-1}$,所以有序解数目约等于${C_{n+m-1}^{n-1}}/{n!} ~= {m^{n-1}}/{n!(n-1)!}$

zuijianqiugen

mathe 发表于 2018-2-14 13:03
这个极限行为很好分析。我们直到问题对应有序解的数目$x_1+x_2+...+x_n=m$
其中在m充分大时，其中$x_i=x ...

此解答甚妙，点赞！