数学研发论坛

 找回密码
 欢迎注册
查看: 477|回复: 7

[讨论] 特殊的三角函数等式

[复制链接]
发表于 2018-2-2 14:20:58 | 显示全部楼层 |阅读模式

马上注册,结交更多好友,享用更多功能,让你轻松玩转社区。

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?欢迎注册

x
收集一些特殊的三角函数等式,特殊之处在于,等式左边是两个三角函数的线性和,右边是一个简单的代数表达式:
1.$tan((6pi)/7)+4sin((2pi)/7)=sqrt(7)$

2.$tan((4pi)/11)+4sin(pi/11)=sqrt(11)$

3.$tan((2pi)/13)+4sin((6pi)/13)=sqrt(13+2sqrt(13)$

分母再大就很难有类似的等式了。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2018-2-2 15:03:06 | 显示全部楼层
本帖最后由 lsr314 于 2018-2-2 15:10 编辑

三个正切函数的乘积:
4.$\tan\frac{2\pi}{13}\tan\frac{5\pi}{13}\tan\frac{6\pi}{13}=\sqrt{65+18\sqrt{13}}$
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2018-2-2 15:05:05 | 显示全部楼层
5.$\frac{1}{\sin^{2}\frac{\pi}{14}} + \frac{1}{\sin^{2}\frac{3\pi}{14}} + \frac{1}{\sin^{2}\frac{5\pi}{14}} = 24$
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-2-6 21:10:31 | 显示全部楼层
都不是很显然的呢,这都能整理出来,赞
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-2-26 17:06:28 | 显示全部楼层
1.$a\tan((6pi)/7)+b\sin((2pi)/7)=x$

  $x$为下列方程的第二个正根(按大小排列第二个正根)

   $-64x^6+(112b^2-448ab+1344a^2)x^4+(-2912a^2b^2-56b^4-2240a^4+560ab^3+4480ba^3)x^2+7(-b^3+12ab^2-20ba^2+8a^3)^2=0$
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-3-6 11:47:05 | 显示全部楼层
\(当\D\tan(A+B)=\frac{3}{4}\ \ \ \ \ \ \frac{\tan(A)}{\tan(B)}=\frac{1}{2}时\ \ \ \ \ 5\sin(A)\cos(B)=1\)
\(当\D\tan(A+B)=\frac{9}{40}\ \ \ \ \ \frac{\tan(A)}{\tan(B)}=\frac{1}{2}时\ \ \ \ 41\sin(A)\cos(B)=3\)
\(当\D\tan(A+B)=\frac{15}{112}\ \ \ \frac{\tan(A)}{\tan(B)}=\frac{1}{2}时\ \ \ \ 113\sin(A)\cos(B)=5\)
\(当\D\tan(A+B)=\frac{21}{220}\ \ \ \frac{\tan(A)}{\tan(B)}=\frac{1}{2}时\ \ \ \ 221\sin(A)\cos(B)=7\)
\(当\D\tan(A+B)=\frac{27}{364}\ \ \ \frac{\tan(A)}{\tan(B)}=\frac{1}{2}时\ \ \ \ 365\sin(A)\cos(B)=9\)
\(当\D\tan(A+B)=\frac{33}{544}\ \ \ \frac{\tan(A)}{\tan(B)}=\frac{1}{2}时\ \ \ \ 545\sin(A)\cos(B)=11\)
\(当\D\tan(A+B)=\frac{39}{760}\ \ \ \frac{\tan(A)}{\tan(B)}=\frac{1}{2}时\ \ \ \ 761\sin(A)\cos(B)=13\)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-6-6 19:41:36 | 显示全部楼层



        \(\cosh\left(0×\ln(2+\sqrt{3})\right)=1\)
        \(\cosh\left(1×\ln(2+\sqrt{3})\right)=2\)
        \(\cosh\left(2×\ln(2+\sqrt{3})\right)=7\)
        \(\cosh\left(3×\ln(2+\sqrt{3})\right)=26\)
        \(\cosh\left(4×\ln(2+\sqrt{3})\right)=97\)
        \(\cosh\left(5×\ln(2+\sqrt{3})\right)=362\)
        \(\cosh\left(6×\ln(2+\sqrt{3})\right)=1351\)
        \(\cosh\left(7×\ln(2+\sqrt{3})\right)=5042\)
        \(\cosh\left(8×\ln(2+\sqrt{3})\right)=18817\)
        \(\cosh\left(9×\ln(2+\sqrt{3})\right)=70226\)
      



毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-6-7 11:24:34 | 显示全部楼层
本帖最后由 chyanog 于 2018-6-7 11:56 编辑

一点补充
$\tan \left(\frac{6 \pi }{7}\right)+4 \sin \left(\frac{2 \pi }{7}\right)=\tan \left(\frac{5 \pi }{7}\right)+4 \sin \left(\frac{3 \pi }{7}\right)=\tan \left(\frac{\pi }{7}\right) \tan \left(\frac{2 \pi }{7}\right) \tan \left(\frac{3 \pi }{7}\right)=\tan \left(\frac{3 \pi }{7}\right)+\tan \left(\frac{5 \pi }{7}\right)+\tan \left(\frac{6 \pi }{7}\right)=\sqrt{7}$
$\tan \left(\frac{4 \pi }{11}\right)+4 \sin \left(\frac{\pi }{11}\right)=\tan \left(\frac{3 \pi }{11}\right)+4 \sin \left(\frac{2 \pi }{11}\right)=\sqrt{11}$
$\tan \left(\frac{2 \pi }{13}\right)+4 \sin \left(\frac{6 \pi }{13}\right)=\tan \left(\frac{5 \pi }{13}\right)+4 \sin \left(\frac{2 \pi }{13}\right)=\sqrt{13+2 \sqrt{13}}$
$\tan \left(\frac{4 \pi }{13}\right)+4 \sin \left(\frac{\pi }{13}\right)=\tan \left(\frac{10 \pi }{13}\right)+4 \sin \left(\frac{4 \pi }{13}\right)=\tan \left(\frac{12 \pi }{13}\right)+4 \sin \left(\frac{3 \pi }{13}\right)=\sqrt{13-2 \sqrt{13}}$

$\tan \left(\frac{\pi }{13}\right) \tan \left(\frac{3 \pi }{13}\right) \tan \left(\frac{4 \pi }{13}\right)=\sqrt{65-18 \sqrt{13}}$
$\tan \left(\frac{2 \pi }{13}\right) \tan \left(\frac{5 \pi }{13}\right) \tan \left(\frac{6 \pi }{13}\right)=\tan \left(\frac{2 \pi }{13}\right)+\tan \left(\frac{5 \pi }{13}\right)+\tan \left(\frac{6 \pi }{13}\right)=\sqrt{65+18 \sqrt{13}}$
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册

本版积分规则

小黑屋|手机版|数学研发网 ( 苏ICP备07505100号 )

GMT+8, 2018-6-19 20:18 , Processed in 0.051891 second(s), 16 queries .

Powered by Discuz! X3.4

© 2001-2017 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表