已知递进公式，求通项公式

zuijianqiugen · 发表于 2018-2-2 19:13:13

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1、递进公式：a_n+1=(n-1)!+na_n，a₁=b
2、通项公式：a_n=？

kastin · 发表于 2018-2-2 19:39:46

本帖最后由 kastin 于 2018-2-2 19:41 编辑

`a_{n+1}-na_n=(n-1)!`，令 `c_n=a_n/(n-1)!`，有 `c_{n+1}-c_n=1/n`，从而\[\begin{split}c_n&=c_1+1+\frac 12+\frac 13+\cdots +\frac 1{n-1}\\
&=b+H_{n-1}\end{split}\]
所以 `a_n=(n-1)!(b+H_{n-1})`.

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