数学研发论坛

 找回密码
 欢迎注册
查看: 872|回复: 12

[提问] 关于证明的逻辑问题

[复制链接]
发表于 2018-2-2 20:46:26 | 显示全部楼层 |阅读模式

马上注册,结交更多好友,享用更多功能,让你轻松玩转社区。

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?欢迎注册

x
本帖最后由 zuijianqiugen 于 2018-2-2 20:43 编辑

用伽马函数无穷乘积与余元公式,可以推导出三角函数无穷乘积和瓦利公式。这算不算是一种证明?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-2-2 21:16:33 | 显示全部楼层
搞反了吧,伽马无穷乘积是其一种定义,余元公式的一种证明方法就是是利用这个无穷乘积的定义式,结合正弦函数的无穷乘积式证明的。正弦函数的无穷乘积式可由余弦函数的傅里叶展开然后逐项积分得到,瓦里斯公式可直接由此得到,无需牵涉伽马函数。余元公式的其他证法如留数法等本质上和这个类似,还是属于级数证明。区别在于,将伽马函数使用等价的积分定义而已。

点评

cosx的傅里叶级数怎么会是cospx相加?  发表于 2018-2-3 15:09
余弦函数的傅里叶展开后是cospx,积分后怎么会变成对数相加的形式?  发表于 2018-2-3 14:28
@zuijianqiugen,相加关系积分后变成对数相加的形式,对数相加就变成相乘,然后比较左右两边即可。  发表于 2018-2-3 11:04
@zuijianqiugen,傅里叶级数的三角函数中自变量前面都是整数倍,也就是基波、二次谐波、三次谐波,等等。被展开的则是 `\cos px`,其中 `p` 不是整数。  发表于 2018-2-3 11:00
余弦函数的傅里叶展开后是相加关系,就是在逐项积分后也是相加关系。怎么会变成乘积关系呢?  发表于 2018-2-2 22:53
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-2-3 16:04:39 | 显示全部楼层
说 `\cos px` 傅里叶级数还是本身的,说明没有自己亲自动手计算。\[\cos px=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}(a_k\cos kx+b_k\sin kx)\]其中\[\begin{split}a_0&=\frac 1\pi\int_{-\pi}^{\pi}\cos px\dif x=\frac{2\sin p\pi}{p\pi }\\
a_k&=\frac 1\pi\int_{-\pi}^{\pi}\cos px\cos kx\dif x=(-1)^{k+1}\frac{2p\sin p\pi}{(k^2-p^2)\pi}\\
b_k&=\frac 1\pi\int_{-\pi}^{\pi}\cos px\sin kx\dif x=0\end{split}\]故\[\cos px=\frac{2p\sin px}{\pi}\left(\frac 1{2p^2}+\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{\cos kx}{k^2-p^2}\right)\]考虑到 `\cos px` 在 `x=\pi` 处连续,故可令 `x=\pi` \[\cot \pi p=\frac{2p}{\pi}\left(\frac 1{2p^2}-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2-p^2}\right)\]`p` 换成 `x` \[\cot \pi x=\frac{2x}{\pi}\left(\frac 1{2x^2}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{x^2-k^2}\right)\tag{1}\]并注意到余元公式中  `0 < p< 1`,可知上述级数在 `0< x <1` 时,第 `n+1` 项的绝对值 `\D |\frac{2x}{\pi}\frac{1}{x^2-n^2}|<\frac{2}{\pi}\frac{1}{n^2-1}`,故一致收敛,从而可对 `(1)` 式逐项积分,得到 \[\ln \frac{\sin \pi x}{\pi x}=\sum_{k=1}^{\infty}\ln\frac{k^2-x^2}{n^2}=\ln\prod_{k=1}^{\infty}(1-\frac{x^2}{n^2})\]代入伽马函数无穷乘积定义式即证得。

其实 `(1)` 是一个比较有用的级数,比如在这个帖子 https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 57&fromuid=8865 中出现。

点评

原来这里面有一个令x=π的技巧问题。  发表于 2018-2-4 14:51

评分

参与人数 1威望 +1 金币 +1 贡献 +1 经验 +1 鲜花 +1 收起 理由
zuijianqiugen + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 很给力!

查看全部评分

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2018-2-6 18:42:15 | 显示全部楼层
kastin 发表于 2018-2-2 21:16
搞反了吧,伽马无穷乘积是其一种定义,余元公式的一种证明方法就是是利用这个无穷乘积的定义式,结合正弦函 ...

我找到一种证明方法,就是不用伽马函数无穷乘积与三角函数无穷乘积,也能证明出伽马函数的余元公式。

点评

不是4楼,是2楼。  发表于 2018-2-6 20:03
证法很多,只是同一本质的不同形式,见4楼最后一句话。  发表于 2018-2-6 20:03
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册

本版积分规则

小黑屋|手机版|数学研发网 ( 苏ICP备07505100号 )

GMT+8, 2019-10-15 16:47 , Processed in 0.063144 second(s), 17 queries .

Powered by Discuz! X3.4

© 2001-2017 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表