关于证明的逻辑问题

zuijianqiugen

用伽马函数无穷乘积与余元公式，可以推导出三角函数无穷乘积和瓦利公式。这算不算是一种证明？

kastin

搞反了吧，伽马无穷乘积是其一种定义，余元公式的一种证明方法就是是利用这个无穷乘积的定义式，结合正弦函数的无穷乘积式证明的。正弦函数的无穷乘积式可由余弦函数的傅里叶展开然后逐项积分得到，瓦里斯公式可直接由此得到，无需牵涉伽马函数。余元公式的其他证法如留数法等本质上和这个类似，还是属于级数证明。区别在于，将伽马函数使用等价的积分定义而已。

kastin

说 `\cos px` 傅里叶级数还是本身的，说明没有自己亲自动手计算。\[\cos px=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}(a_k\cos kx+b_k\sin kx)\]其中\[\begin{split}a_0&=\frac 1\pi\int_{-\pi}^{\pi}\cos px\dif x=\frac{2\sin p\pi}{p\pi }\\
a_k&=\frac 1\pi\int_{-\pi}^{\pi}\cos px\cos kx\dif x=(-1)^{k+1}\frac{2p\sin p\pi}{(k^2-p^2)\pi}\\
b_k&=\frac 1\pi\int_{-\pi}^{\pi}\cos px\sin kx\dif x=0\end{split}\]故\[\cos px=\frac{2p\sin px}{\pi}\left(\frac 1{2p^2}+\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{\cos kx}{k^2-p^2}\right)\]考虑到 `\cos px` 在 `x=\pi` 处连续，故可令 `x=\pi` \[\cot \pi p=\frac{2p}{\pi}\left(\frac 1{2p^2}-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2-p^2}\right)\]`p` 换成 `x` \[\cot \pi x=\frac{2x}{\pi}\left(\frac 1{2x^2}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{x^2-k^2}\right)\tag{1}\]并注意到余元公式中  `0 < p< 1`，可知上述级数在 `0< x <1` 时，第 `n+1` 项的绝对值 `\D |\frac{2x}{\pi}\frac{1}{x^2-n^2}|<\frac{2}{\pi}\frac{1}{n^2-1}`，故一致收敛，从而可对 `(1)` 式逐项积分，得到 \[\ln \frac{\sin \pi x}{\pi x}=\sum_{k=1}^{\infty}\ln\frac{k^2-x^2}{n^2}=\ln\prod_{k=1}^{\infty}(1-\frac{x^2}{n^2})\]代入伽马函数无穷乘积定义式即证得。

其实 `(1)` 是一个比较有用的级数，比如在这个帖子 https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 57&fromuid=8865 中出现。

zuijianqiugen

kastin 发表于 2018-2-2 21:16
搞反了吧，伽马无穷乘积是其一种定义，余元公式的一种证明方法就是是利用这个无穷乘积的定义式，结合正弦函 ...

我找到一种证明方法，就是不用伽马函数无穷乘积与三角函数无穷乘积，也能证明出伽马函数的余元公式。