周期数列的三角函数通项公式

kastin

之前在证明双伽马(Digamma)函数 `\psi(x)` 的高斯双伽马定理时，在8#提到了其中的数论性质可以用于表示周期数列。现记录如下，方便日后引用。
周期数列具有周期性，故可用具有周期性质的函数表示，比如三角函数、取整函数、模运算。任意周期函数可表示为傅里叶级数正是一个典型例子。考虑到7#中(3)式的筛选作用，只需要将 `j` 换成 `n-r`，那么就可筛选出模 `m` 余 `r` 的项。从而给出形如 `\{A_n\}=\{a_1,a_2,a_3,\cdots,a_m,a_1,a_2,a_3,\cdots,a_m,\cdots\}` 周期为 `m` 的数列通项公式\[A_n=\frac{1}{m}\sum_{r=1}^m\sum_{k=0}^{m-1}w^{k(n-r)}a_r\;\;(n>0)\tag{1}\]其中，`w=e^{\frac{2\pi i}{m}}`
若 `a_r` 都是实数，那么虚部和必为零，故可进一步化简为\[A_n=\frac{1}{m}\sum_{r=1}^m\sum_{k=0}^{m-1}a_r\cos\frac{2k(n-r)\pi i}{m}\;\;(n>0)\tag{2}\]事实上，上面的通项公式还可用母函数或拉格朗日插值公式给出等价形式。