关于Dirichlet除数问题的最好结果？？

qingjiao

如果将坐标值均为整数的点称为“整点”，考察第一象限由x=0，y=0及xy=N所围成的曲边三角形内（含边界）有多少个整点，这个问题好像叫做Dirichlet除数问题？

请教各位：

(1)这个问题现在已知的最佳结果是什么？

我用初等方法可以推出一个误差比O(√N)好一点的结果，但仍在√N数量级，印象中最好的结果已经达到误差O(N^1/3)数量级或更小。

(2)如果将平面坐标改成立体坐标，仍将x,y,z坐标均为整数的点称为“整点”，考察由平面x=0，y=0，z=0及曲面xyz=N所围成的锥体空间（含边界）内有多少个整点？

这个问题有无人研究过？若有，目前最好的结果是什么？

kastin

这个问题很有趣，属于乘法数论问题 https://en.wikipedia.org/wiki/Di ... on#cite_note-Ivic-2
楼主的问题是上面定义的`D_2(N)`，第二问则是`D_3(N)`，两个问题之间可以用递归关系联系。

kastin

令 `w=e^{\frac{2\pi i}{k}}`，则 `D_2(N)=\sum_{k=1}^N\sum_{j=1}^N\frac1m(1+w^{j}+w^{2j}+\cdots+w^{j(k-1)})`，似乎可以进行一番估计。

qingjiao

楼上的是高等的方法吗？我用初等的方法，利用图形的对称性和互补性，可以确定大O项的正负和范围，但不能优于√N数量级，因为最少的不确定除数项为√N。

按照您提供的维基资料，似乎D2问题最好的结果应是O(1/N^1/4)？那么D3呢？？

kastin

qingjiao 发表于 2018-2-17 19:53
楼上的是高等的方法吗？我用初等的方法，利用图形的对称性和互补性，可以确定大O项的正负和范围，但不能优 ...

链接中的信息已经很清晰了，对于 `k` 维情形，余项 `\Delta_k(x)=O(x^{\alpha_k+\epsilon})`，其中 `\forall \epsilon>0`，目前最好结果 `\alpha_2\le\frac{131}{416}`，`\alpha_3\le \frac{43}{96}`.
E. C. Titchmarsh 猜想 `\alpha_k=\D\frac{k-1}{2k}`.