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[求助] 关于Dirichlet除数问题的最好结果??

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发表于 2018-2-14 00:49:26 | 显示全部楼层 |阅读模式

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如果将坐标值均为整数的点称为“整点”,考察第一象限由x=0,y=0及xy=N所围成的曲边三角形内(含边界)有多少个整点,这个问题好像叫做Dirichlet除数问题?

请教各位:

(1)这个问题现在已知的最佳结果是什么?

我用初等方法可以推出一个误差比O(√N)好一点的结果,但仍在√N数量级,印象中最好的结果已经达到误差O(N^1/3)数量级或更小。

(2)如果将平面坐标改成立体坐标,仍将x,y,z坐标均为整数的点称为“整点”,考察由平面x=0,y=0,z=0及曲面xyz=N所围成的锥体空间(含边界)内有多少个整点?

这个问题有无人研究过?若有,目前最好的结果是什么?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-2-16 22:33:20 | 显示全部楼层
这个问题很有趣,属于乘法数论问题 https://en.wikipedia.org/wiki/Di ... on#cite_note-Ivic-2
楼主的问题是上面定义的`D_2(N)`,第二问则是`D_3(N)`,两个问题之间可以用递归关系联系。

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因此,二维问题的另一种等价表达是,不大于 `N` 的数的因子个数之和。  发表于 2018-2-16 22:44
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发表于 2018-2-16 23:03:38 | 显示全部楼层
令 `w=e^{\frac{2\pi i}{k}}`,则 `D_2(N)=\sum_{k=1}^N\sum_{j=1}^N\frac1m(1+w^{j}+w^{2j}+\cdots+w^{j(k-1)})`,似乎可以进行一番估计。

点评

上面的 `m` 应该是 `k`  发表于 2018-2-17 16:47
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 楼主| 发表于 2018-2-17 19:53:10 | 显示全部楼层
楼上的是高等的方法吗?我用初等的方法,利用图形的对称性和互补性,可以确定大O项的正负和范围,但不能优于√N数量级,因为最少的不确定除数项为√N。

按照您提供的维基资料,似乎D2问题最好的结果应是O(1/N^1/4)?那么D3呢??

点评

好像回帖发不了图??  发表于 2018-2-17 20:24
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