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[讨论] 是否存在一个整数,这个整数等于它的素因子的平方和

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发表于 2018-2-22 09:55:48 | 显示全部楼层 |阅读模式

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是否存在整数$n$,满足$\sum_{p|n}p^2=n$?
即假如$n=p_1^(a_1) \cdots p_k^(a_k)$,定义$f(n)=p_1^2+\cdots+p_k^2$,问是否存在$n$使得$f(n)=n$?
通过奇偶性分析可知,$k$必须是奇数。
一个平凡的情况是$n=p^2$,除此之外,是否还有其他解呢?可以证明$n$至少有5个不同的素因子,即$k\geq5$.
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-2-22 16:15:17 | 显示全部楼层
一般来说,乘积比和要大,所以如果存在这样的数,那么这些素因子的分布应该比较分散。感觉成立的 `k` 如果是连续整数,可能有上限;如果不是连续整数,那么可能只是有限离散个 `k` 成立。
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发表于 2018-2-22 21:34:36 | 显示全部楼层
参考
https://bbs.emath.ac.cn/thread-881-1-1.html
推广一下可以解方程
$x_1^2+x_2^2+...+x_n^2=\lambda x_1x_2...x_n$
唯一的问题本题要求素数解,而且$\lambda$所有素因子都是$x_1,x_2,...,x_n$等
可能性应该极低
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发表于 2018-2-24 18:36:09 来自手机 | 显示全部楼层
如果直接找$lambda=1$情况对应的解中是否有素数解,还是有一定概率找到解的,只是概率不高。比如对应的5个数的情况下,我们找到任意一个解(a,b,c,d,e)后,可以通过替换e=abcd-e找到更多的解。我们可以通过反复将里面不同的元素看成e先将里面三个数替换成素数。所以不妨假设现在a,b,c已经素数但是d,e不是。我们可以设k=abc, 定义数列$h_0=d,h_1=e,h_{n+1}=kh_n-h_{n-1}$,如果这个数列中存在连续两项都是素数,那么我们就找到一个全素数解了。不过根据素数定理估算,这个数列中连续两项是素数的期望是有限的很少项的,所以找到的概率挺小的。当然我们还有很多不同的a,b,c可以使用,但是总体概率还是很小
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