是否存在一个整数,这个整数等于它的素因子的平方和

lsr314

是否存在整数$n$,满足$\sum_{p|n}p^2=n$？
即假如$n=p_1^(a_1) \cdots p_k^(a_k)$,定义$f(n)=p_1^2+\cdots+p_k^2$,问是否存在$n$使得$f(n)=n$?
通过奇偶性分析可知，$k$必须是奇数。
一个平凡的情况是$n=p^2$,除此之外，是否还有其他解呢？可以证明$n$至少有5个不同的素因子，即$k\geq5$.

kastin

一般来说，乘积比和要大，所以如果存在这样的数，那么这些素因子的分布应该比较分散。感觉成立的 `k` 如果是连续整数，可能有上限；如果不是连续整数，那么可能只是有限离散个 `k` 成立。

mathe

参考
https://bbs.emath.ac.cn/thread-881-1-1.html
推广一下可以解方程
$x_1^2+x_2^2+...+x_n^2=\lambda x_1x_2...x_n$
唯一的问题本题要求素数解，而且$\lambda$所有素因子都是$x_1,x_2,...,x_n$等
可能性应该极低

mathe

如果直接找$lambda=1$情况对应的解中是否有素数解，还是有一定概率找到解的，只是概率不高。比如对应的5个数的情况下，我们找到任意一个解(a,b,c,d,e)后，可以通过替换e=abcd-e找到更多的解。我们可以通过反复将里面不同的元素看成e先将里面三个数替换成素数。所以不妨假设现在a,b,c已经素数但是d,e不是。我们可以设k=abc, 定义数列$h_0=d,h_1=e,h_{n+1}=kh_n-h_{n-1}$,如果这个数列中存在连续两项都是素数，那么我们就找到一个全素数解了。不过根据素数定理估算，这个数列中连续两项是素数的期望是有限的很少项的，所以找到的概率挺小的。当然我们还有很多不同的a,b,c可以使用，但是总体概率还是很小