这个旋转中心如何求？

sdhuxuejun

一个圆规在平面上，已知旋转一个锐角的角度a，已知旋转角度a前后坐标,
旋转前（X1，Y1），旋转后（X2，Y2）, X1,Y1,X2,Y2均大于0 ，求圆规旋转中心坐标（X,Y）？

下图是我的求解，但是我最后算不出来 X与Y 的解答式
希望有高人指点一下！

mathe

你的方程两式相减就得出两变量的线性关系了

sdhuxuejun

mathe 发表于 2018-3-4 08:46
你的方程两式相减就得出两变量的线性关系了

但是我求不出X与Y 的解答式，平方展开后有一次方和二次方

sdhuxuejun

mathe 发表于 2018-3-4 08:46
你的方程两式相减就得出两变量的线性关系了

就是求出线性方程后，把它代入上面一个公式，平方展开后就不知道怎么算了

mathe

带入后不过一个一元二次方程，直接用求根公式即可

sdhuxuejun

mathe 发表于 2018-3-4 09:56
带入后不过一个一元二次方程，直接用求根公式即可

恍然大悟！我都忘记有这公式了！谢谢！

mathematica

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. out=Solve[
   
3.     (*到两个点的距离相等*)
   
4.     (x1-x)^2+(y1-y)^2==(x2-x)^2+(y2-y)^2&&
   
5.     (*余弦定理,采用向量计算*)
   
6.     (x1-x)(x2-x)+(y1-y)(y2-y)==Sqrt[((x1-x)^2+(y1-y)^2)]*Sqrt[((x2-x)^2+(y2-y)^2)]*cosa
   
7.     ,{x,y}
   
8. ]
   
9. FullSimplify@out
   

复制代码

\[\left\{\left\{x\to \frac{1}{2} \left(\frac{\sqrt{-\left(\text{cosa}^2-1\right) (\text{y1}-\text{y2})^2}}{1-\text{cosa}}+\text{x1}+\text{x2}\right),y\to \frac{(\text{x1}-\text{x2}) \sqrt{-\left(\text{cosa}^2-1\right) (\text{y1}-\text{y2})^2}+(\text{cosa}-1) \text{y1}^2-(\text{cosa}-1) \text{y2}^2}{2 (\text{cosa}-1) (\text{y1}-\text{y2})}\right\},\left\{x\to \frac{1}{2} \left(\frac{\sqrt{-\left(\text{cosa}^2-1\right) (\text{y1}-\text{y2})^2}}{\text{cosa}-1}+\text{x1}+\text{x2}\right),y\to \frac{(\text{x2}-\text{x1}) \sqrt{-\left(\text{cosa}^2-1\right) (\text{y1}-\text{y2})^2}+(\text{cosa}-1) \text{y1}^2-(\text{cosa}-1) \text{y2}^2}{2 (\text{cosa}-1) (\text{y1}-\text{y2})}\right\},\left\{x\to \frac{1}{2} \left(-\frac{\sqrt{-\left(\text{cosa}^2-1\right) (\text{y1}-\text{y2})^2}}{\text{cosa}+1}+\text{x1}+\text{x2}\right),y\to \frac{(\text{x1}-\text{x2}) \sqrt{-\left(\text{cosa}^2-1\right) (\text{y1}-\text{y2})^2}+(\text{cosa}+1) \text{y1}^2-(\text{cosa}+1) \text{y2}^2}{2 (\text{cosa}+1) (\text{y1}-\text{y2})}\right\},\left\{x\to \frac{\sqrt{-\left(\text{cosa}^2-1\right) (\text{y1}-\text{y2})^2}+\text{cosa} \text{x1}+\text{cosa} \text{x2}+\text{x1}+\text{x2}}{2 \text{cosa}+2},y\to \frac{(\text{x2}-\text{x1}) \sqrt{-\left(\text{cosa}^2-1\right) (\text{y1}-\text{y2})^2}+(\text{cosa}+1) \text{y1}^2-(\text{cosa}+1) \text{y2}^2}{2 (\text{cosa}+1) (\text{y1}-\text{y2})}\right\}\right\}\]

奇葩了,明明是上下两个点,为什么软件计算出来是四个点?
还有一个问题,x与y的结果应该是同样的表达式,但是实际不是

mathematica

mathematica 发表于 2019-1-5 11:11
\[\left\{\left\{x\to \frac{1}{2} \left(\frac{\sqrt{-\left(\text{cosa}^2-1\right) (\text{y1}-\text{ ...

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. (*下面六个无理数,不可能被加减乘除消化掉,所以先得出一个伪符号解*)
   
3. rule={x1,y1,x2,y2}->{EulerGamma,Catalan,Khinchin,Glaisher};
   
4. N[{EulerGamma,Catalan,Khinchin,Glaisher}]
   
5. sol=Solve[
   
6. {
   
7. (x1-x)^2+(y1-y)^2==(x2-x)^2+(y2-y)^2,
   
8. (x1-x)(x2-x)+(y1-y)(y2-y)==Sqrt[((x1-x)^2+(y1-y)^2)]*Sqrt[((x2-x)^2+(y2-y)^2)]*cosa
   
9. }/.Thread[rule],{x,y}]//FullSimplify;
   
10. (*回代得到符号解*)
    
11. sol/.Thread[Reverse[rule]]//FullSimplify
    

复制代码

换种办法求解!
\[\left\{\left\{x\to \frac{1}{2} \left(\frac{(\cos{a}+1) (y_2-y_1)}{\sqrt{1-\cos{a}^2}}+x_1+x_2\right),y\to \frac{1}{2} \left(\frac{(\cos{a}+1) (x_1-x_2)}{\sqrt{1-\cos{a}^2}}+y_1+y_2\right)\right\},\left\{x\to \frac{1}{2} \left(\frac{(\cos{a}+1) (y_1-y_2)}{\sqrt{1-\cos{a}^2}}+x_1+x_2\right),y\to \frac{1}{2} \left(\frac{(\cos{a}+1) (x_2-x_1)}{\sqrt{1-\cos{a}^2}}+y_1+y_2\right)\right\},\left\{x\to \frac{1}{2} \left(\frac{\sqrt{1-\cos{a}} (y_1-y_2)}{\sqrt{\cos{a}+1}}+x_1+x_2\right),y\to \frac{1}{2} \left(\frac{\sqrt{1-\cos{a}} (x_2-x_1)}{\sqrt{\cos{a}+1}}+y_1+y_2\right)\right\},\left\{x\to \frac{1}{2} \left(\frac{\sqrt{1-\cos{a}} (y_2-y_1)}{\sqrt{\cos{a}+1}}+x_1+x_2\right),y\to \frac{1}{2} \left(\frac{\sqrt{1-\cos{a}} (x_1-x_2)}{\sqrt{\cos{a}+1}}+y_1+y_2\right)\right\}\right\}\]

\[\frac{\cos{a}+1}{\sqrt{1-\cos{a}^2}}=1/\tan\frac{a}{2},\frac{\sqrt{1-\cos{a}}}{\sqrt{\cos{a}+1}}=\tan\frac{a}{2}\]互为倒数

mathematica

mathematica 发表于 2019-1-5 11:28
换种办法求解!
\[\left\{\left\{x\to \frac{1}{2} \left(\frac{(\text{cosa}+1) (\text{y2}-\text{y ...

除以`\D\tan\frac{a}{2}`的几何意义我勉强能解释, 但是乘以`\D\tan\frac{a}{2}`的几何意义是什么呢?我感觉理解不了,谁能解释一下?

.·.·.

mathematica 发表于 2019-1-5 12:31
\[除以tan(\frac{a}{2}的几何意义我勉强能解释, 但是乘以tan(\frac{a}{2}的几何意义是什么呢?我感觉理解 ...

发现了你的问题所在
你并没有验证sin a的大小
只用cos a的话可能会转出一个大于180度小于270度的解
那个解是不合理的