求所有的正整数b使得(b^3-1)^2有一个形如kb^2+1的真因子

lsr314

求所有的正整数\(b\)使得$(b^3-1)^2$有一个形如$kb^2+1$的真因子,即$(b^3-1)^2$有一个真因子模$b^2$余\(1\).
目前只找到一个解\(b=4\)，满足条件的真因子包括\(49\)和\(81\).

mathe

设$(b^3-1)^2=(kb^2+1)(hb^2+1)=khb^4+(k+h)b^2+1$
得出$b^4-2b=khb^2+k+h$
所以$khb^2 < b^4$得出$kh < b^2$
另外$b^2| k+h+2b$,得出$k+h>=b^2-2b$
我们直到$hk < b^2$时，k和h差别越大,$h+k$值越大，但是在$h>=2,k>=2$时，$b^2-2b<=h+k<2+b^2/2$,于是$b<=4$
另外如果$h=1$,我们只能选择$k=b^2-2b-1$,得出只能$b=0$不符合条件
所以我们只要穷举$b<=4$即可