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[讨论] 求所有的正整数b使得(b^3-1)^2有一个形如kb^2+1的真因子

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发表于 2018-3-6 10:21:19 | 显示全部楼层 |阅读模式

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求所有的正整数\(b\)使得$(b^3-1)^2$有一个形如$kb^2+1$的真因子,即$(b^3-1)^2$有一个真因子模$b^2$余\(1\).
目前只找到一个解\(b=4\),满足条件的真因子包括\(49\)和\(81\).

点评

帖子标题尽量不要用 LaTeX(已编辑删除),否则会导致页面布局出现小问题  发表于 2018-3-6 11:04
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-3-6 11:09:07 | 显示全部楼层
设$(b^3-1)^2=(kb^2+1)(hb^2+1)=khb^4+(k+h)b^2+1$
得出$b^4-2b=khb^2+k+h$
所以$khb^2 < b^4$得出$kh < b^2$
另外$b^2| k+h+2b$,得出$k+h>=b^2-2b$
我们直到$hk < b^2$时,k和h差别越大,$h+k$值越大,但是在$h>=2,k>=2$时,$b^2-2b<=h+k<2+b^2/2$,于是$b<=4$
另外如果$h=1$,我们只能选择$k=b^2-2b-1$,得出只能$b=0$不符合条件
所以我们只要穷举$b<=4$即可
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
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