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[提问] 求三角形边长

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发表于 2018-3-11 11:57:17 | 显示全部楼层 |阅读模式

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在 ΔABC 中,∠C=90°,M 是CB中点,以直角边CA为边长向外作正三角形CAG,
以斜边AB为边长向外作正三角形ABF,MG=7,MF=11,求 BC  。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-3-11 15:07:11 | 显示全部楼层
本帖最后由 mathematica 于 2018-3-11 15:45 编辑

题目看起来很难,其实也并不是非常难,
万能的mathematica万岁!
  1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
  2. Grid@FullSimplify@Solve[{a^2+b^2==c^2,a^2/4+c^2-a*c*Cos[B+Pi/3]==11^2,a>0,b>0,c>0,0<B<Pi/2,Cos[B]==a/c,a^2/4+b^2+Sqrt[3]/2*a*b==7^2},{a,b,c,B},Method->Reduce]
复制代码

思路就是利用余弦定理勾股定理等

求解结果
三角形三边长度以及角B
\[\left\{\left\{a\to 12,b\to 2 \sqrt{10}-3 \sqrt{3},c\to \sqrt{211-12 \sqrt{30}},B\to 2 \tan ^{-1}\left(\frac{1}{13} \left(3 \sqrt{3}+2 \sqrt{10}\right) \left(\sqrt{211-12 \sqrt{30}}-12\right)\right)\right\}\right\}\]

建议增加配图,免得我自己画图了

数值化后,结果是
\[\begin{array}{cccc}
a\to 12. & b\to 1.1284 & c\to 12.0529 & B\to 0.0937579 \\
\end{array}\]

这个问题就是解方程组而已,把中间过程交给万岁的mathematica

做你的题目,还要赔你一张图,真是的.CAD画的,不好见谅
_三角形边长.png

点评

唯一的难点就是解方程组  发表于 2018-3-11 15:12
我除了不会解方程组,剩下的都会  发表于 2018-3-11 15:11
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2018-3-11 20:13:08 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2018-3-11 20:17 编辑

[quote]mathematica 发表于 2018-3-11 15:07
题目看起来很难,其实也并不是非常难,
万能的mathematica万岁!


谢谢mathematica!这是另一种解法。
360截图20180311201032991.png
360截图20180311200828784.png

点评

复数法与向量没啥本质区别  发表于 2018-3-12 08:58
你这用复数法,与余弦定理搞出来的有啥区别?  发表于 2018-3-12 08:57
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发表于 2018-3-11 20:59:57 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2018-3-11 20:13
[quote]mathematica 发表于 2018-3-11 15:07
题目看起来很难,其实也并不是非常难,
万能的mathematica万岁 ...

其实我觉得你我的办法没有本质的差别,都只不过是解方程组而已
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2018-3-14 12:52:38 | 显示全部楼层
mathematica 发表于 2018-3-11 15:07
题目看起来很难,其实也并不是非常难,
万能的mathematica万岁!

不同的解法
360截图20180314125058205.png
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2018-3-15 10:04:20 | 显示全部楼层

任意四边形(哪怕四条边不在一个平面内)四边的平方和=对角线的平方和+4*对角线中点连线的平方
由于平行四边形对角线互相平分,
所以平行四边形四边的平方和=对角线的平方和

点评

1,是“对角线中点”,不是“对角线交点”。 2,是定理?  发表于 2018-3-15 10:36
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-3-15 12:58:26 | 显示全部楼层
本帖最后由 mathematica 于 2018-3-15 13:01 编辑


假设四边形的两条对角线的向量分别是2*a,2*b,对角线中点连线的向量是c

那么四边向量分别是
+a+b+c
-a+b+c
+a-b+c
+a+b-c
可能有正负号的差别(毕竟向量方向反了,就乘以负壹),但肯定就是这四个向量,平方和不会有差别
求平方和则是,用万岁的mathematica来验算,就是
  1. Expand[(a+b+c)^2+(-a+b+c)^2+(a-b+c)^2+(a+b-c)^2]
复制代码

求解结果是\[四边平方和=\]
\[4 a^2+4 b^2+4 c^2\]
\[也就是对角线的平方+4*对角线中点连线的平方\]
,命题得证


这儿也有个证明
https://www.zybang.com/question/ ... 54669db06ea6ba.html
如图所示.求证:任意四边形四条边的平方和等于对角线的平方和加对角线中点连线平方的4倍.

但是我喜欢向量证明,简单直接!
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发表于 2018-3-15 13:04:43 | 显示全部楼层
利用余弦定理可以得出三角形中线的公式即可,比如三角形BCF中
$CF^2=CM^2+MF^2-2CM xx MF xx\cos(/_FMC)$
$FB^2=BM^2+BF^2-2BM xx MF xx \cos(/_FMB)$
两者相加即可
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