自然数的物理化学性质

liangbch

  数学是自然科学的基础，物理学和化学的许多原理必须用数学来解释和描述。这里我们反其道而行之，我们用物理化学的概念来解释数的性质。

 

  在数学上，数有复数，无理数，有理数，整数，自然数之分。我们这里仅仅讨论最简单的一类数，自然数。 对于自然数，我们能够从2个范畴来讨论之。

 

 1.第一个范畴，我们在计数系统中讨论自然数。我们知道自然数有2个含义。1是计数，表示数的多少。2是序数，表示物体的顺序。计数系中，最基本的数是1，它是数的最基本单位，在基本单位的基础上，不断的增加一个单位，就得到一个又一个的整数。将数与原子这个概念对应，数1对应于氢原子（只有一个质子）。和原子不同的是，自然数只含带电的“质子”，不含中子。自然数的质量类似于原子的序数或者核电荷数，等于自然数的值。两个自然数相加得到一个新的自然数，满足自然数的质量守恒定律，即将2个自然数相加，其和的质量等于两个加数的质量的和。自然数的计数概念是小学一年级数学课的研究对象，是自然数的的初级概念。这里，我们将重点放在自然数的另一个范畴，数的化学性质，我们从化学角度来研究数，对应于数的高级概念--数论。

 

 2.第二个范畴，我们从化学角度来讨论数。

 

 2.1自然数的元素论

   我们知道，化学的基本概念是元素，所有物质都是由元素构成，只有一种元素组成的物质叫单质，包含一种以上元素的物质构成的纯净物理称之为化合物。而数论的基本概念是质数，所有的数都可以表示为质数的乘积，即自然数的唯一分解定理。质数的分解式只包括一个质数，而合数的分解式则包含一个以上的质数。我们这里将质数对应于化学概念的元素，而合数则对应于化学概念的化合物。我不知道，物理学家是否证明了有无限多种元素。但数学家已经证明，有无限多个质数。

 

 2.2自然数的合成

  在化学上，两种或者两种以上单质在一定条件下可发生化学反应，生成化合物。类似的，两个或者多个质数进行相乘可得到一个合数。质数相乘和化学反应不同，化合反应可能消耗能量，也可能释放能量，而在质数相乘得到合数的过程中总是要消耗能量。在自然科学领域中，能量的单位是焦耳。而在数的合成过程中，消耗的能量则用CPU指令的周期数来表示。

 

 2.3自然数的分解与化合反应

    相对的是分解反应，化合物在一定的条件下，可以分解成单质。类似的，合数亦可分解为质数的乘积表示。同等质量的不同化合物进行分解反应所需要的能量一般是不同的，这和组成它的元素的有关，如分解氧化汞只需要较低的温度，较少的能量，而分解氟化钾则只能使用电化学分解法，需要很多能量。类似的，分解一个自然数需要的能量也不相同，这和组成它的质数的有关，使用普通的方法，当一个合数的各个质因数都较小时，需要较少的能量，反之则需要较多的能量，合数的分解质数论中的一个重要研究课题。

 

 2.4自然数的质量

   数不同于普通物质，它是无形的，没有长宽高的概念，也没有重量。我们这里定义数的数的质量等于数的长度。数的长度用对数来定义。对数的底数，也称为基radix，一般选择$2^n$或者$10^n$ .如2，$2^32$, 10,1000 等。例如，以2作为基，则2进制数1000的长度(质量)=log2(8)=3, 1111的长度（质量）等于log2(15)=3.9.

 

2.5自然数的体积

   我们定义数的体积为，存储一个数所占用的空间。我们知道，一个数必须存储在一个或者多个连续的存储单元中，存储单元可能是内存中的一个存储单元，也可能是磁盘中的一个扇区。存储单元的大小是离散的，最小单位是bit，表示一个2进制位, 除了bit 外，还有byte(1byte=8bit), word（1word=2byte），dword(1dword=4byte),sector (1 sector=512byte). 我们定义byte,word,dword等为数的体积单位。如果将2进制数1000存储于一个字节单元，则它将占用1byte，如果将其存储于一个DWORD单元，则它将占用1个DWORD。可见，同样一个数，存储于不同存储单元，占据的空间也不一样，所以体积也不一样。

 

2.6自然数的密度

   我们定义自然数的质量与其体积之比为自然数的密度。如果采用常规的存储方式（非压缩方法）存储自然数，则自然数的密度总是小于1，借用极限的概念，可无限接近但总是不能达到1. 例如，我们采用字节单元存储2进制数1111，则radix（基）等于256, 它的长度是log256(15) ≈0.488，而 2进制数11111111 的长度log256(255) ≈0.999, 他们的体积都是1，所以其密度分别为0.488和0.999。

 

2.7自然数的质量守恒定律

   若自然数c=a*b, 由对数的性质可知 log(c)=log(a)+log(b), 而由于自然数n的质量定义为log(n),故有定理。两个自然数乘积的质量等于两个自然数质量的和。故此，我们可以所，在自然数合成过程中，遵循质量守恒定律。

2.8自然数化合反应和质能方程

  定义1：我们定义自然数的能量$e=0.5* m^2$(二分之一乘以m的平方)。

  定义2：若自然数n1的体积是V1, n2的体积是V2, 则两个自然数相乘所消耗的能量是V1×V2。

  如果两个自然数非常接近于radix，则m接近于v，如以10为基，9000和9999的体积都是4，而质量分别为3.95和3.999957。容易看出，一个数的质量越大，则其质量和体积越接近，密度越接近于1. 在自然数很大的情况下，有近似公式：两个自然数相乘消耗的能量等于两个自然数质量的乘积。可以证明，多个充分大的自然数相乘所需的能量和相乘的顺序无关。下面用例子证明若n1,n2,n3,n4表示4个充分大的自然数，为了方便起见，我们设它的体积都是1，而质量都近似为1. 我们采用两种方式相乘。

 方式1：

    step1： r1= n1 × n2 , 消耗的能量为1×1=1，r1的质量为2

    step2： r2= r1 × n3 , 消耗的能量为2×1=1，r2的质量为3

    step3： r3= r2 × n4 , 消耗的能量为3×1=1，r3的质量为4

    在整个相乘的过程中，消耗的能量等于1+2+3=6.

 方式2：

   step1： r1= n1 × n2 , 消耗的能量为1×1=1，r1的质量为2

   step2： r2= r3 × n4 , 消耗的能量为1×1=1，r2的质量为2

   step3： r3= r2 × r3 , 消耗的能量为2×2=4，r4的质量为4

  在整个相乘过程中，消耗的能量为1+1+4=6。

  从方式1和方式2的结果可知，自然数化合消耗的能量和顺序无关。在方式1中，在化合反应之前，4个自然数的能量是4×（0.5×1×1）=2， 在化合反应后，其积的能量是0.5×4×4=8，消耗的能量是8-2=6， 这和方式1和方式2得到的结果是相同的。固有：几个充分大的数进行化合反应（相乘），其积的能量等于各个数的能量加上消耗的能量，这可以看作是数的化合反应能量守恒定律。注意，数的分解不遵循能量守恒定律。

 

 2.9 理想能耗和实际能耗

值得注意的是，2.8 的结论是基于自然数的密度近似于1的情况下做出的。当自然数的密度远小于1时，则自然数相乘所需能量则和相乘顺序有关。现举例如下，若n1,n2,n3,n4 是自然数，其密度接近于0.5，如在DWORD为体积单位，n=65535，则其密度为log（65535）/log(4294967296) ≈0.499999312). 则2种相乘顺序消耗的能量如下：

  方式1：

    step1： r1= n1 × n2 ,消耗的能量为1×1=1，r1的质量=0.5+0.5=1，体积为1

    step2： r2= r1 × n3 , 消耗的能量为1×1=1，r2的质量=1+0.5=1.5,，体积为2

    step3： r3= r2 × n4 , 消耗的能量为2×1=2，r3的质量为1.5+0.5=2， 体积为2

  方式2：

    step1： r1= n1 × n2 ,消耗的能量为1×1=1，r1的质量=0.5+0.5=1，体积为1

    step2： r2= n3 × n4 ,消耗的能量为1×1=1，r2的质量=0.5+0.5=1,，体积为1

    step3： r3= r1 × r2 , 消耗的能量为1×1=1，r3的质量为1+1， 体积为2

  由方式1和方式2的3个步骤可知，方式1消耗的总能量为4，而方式2消耗的总能量仅为3. 此时四个数乘积的能量为0.5×2×2=2，容易看出，其能量小于四个数的能量的和与消耗的能量的和。在2.8中，我们定义，若自然数n1的体积是V1, n2的体积是V2, 则两个自然数相乘所需要的能量E =V1×V2。这里的e为实际消耗的能量，称为实际能耗。我们这里再做一个定义，理想能耗E=m1×m2. 由于数的质量总是小于数的体积，所以实际能耗总是高于理想能耗。我们称理想能耗与实际能耗的比为功率因子。在计算若干个数的乘积时，我们总是希望功率因子越大越好。为此，我们需要遵循的原则是，在做每次乘法是，尽量保持两个乘数质量相近。

 

  特别说明，本文为作者在思考阶乘算法中得到的一些有趣的理论，首次发表于作者的Csdn博客和数学研发论坛，转载请注明原始出处。作者e-mail: liangbch@263.net

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不错,能将数学理论有趣的融入到其它学科中,也算是一种对数学的理解... 能够将数学语言来描述一切事物和将其它语言来描述数学概念同样重要!

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很新颖。