设 a(1) > 1, a(n+1)=sqrt((a(n)+1/a(n))/2), 求 ∏a(n)

elim · 发表于 2018-4-16 01:52:59

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本帖最后由 elim 于 2018-4-16 01:54 编辑

设$\,a_1 = a > 1$, $a_{n+1} = \sqrt{\frac{1}{2}(a_n+\frac{1}{a_n})}$
求初等函数 $F(a,n)$ 使得 $\prod_{n=1}^{\infty} a_n = F(a,n) + o(\frac{1}{a^n})$

mathe · 发表于 2018-4-16 11:11:32

设$a_n=1+t_n$
于是我们知道$a_{n+1}=\sqrt{1/2(1+t_n+1-t_n+t_n^2-t_n^3+....)}<=\sqrt{1+1/2t_n^2}<=1+1/4t_n^2$
所以我们选择$F(a,n)=\prod_{i=1}^{ln(n)}a_i$即可满足要求，而这个对于固定的n显然可以写成a的初等函数

elim · 发表于 2018-4-19 03:09:28

本帖最后由 elim 于 2018-4-19 03:11 编辑

谢谢 mathe. 当 $a_1 > 2$ 时仍有
$\frac{t_{n+1}}{t_n} =\frac{ \sqrt{a_{n}} -1}{t_n}=\frac{1}{1+\sqrt{a_n}}<\frac{1}{2}$

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[讨论] 设 a(1) > 1, a(n+1)=sqrt((a(n)+1/a(n))/2), 求 ∏a(n)

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