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[讨论] 一个数论问题

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发表于 2018-4-16 21:01:59 | 显示全部楼层 |阅读模式

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根号n的小数点之后可以有多少个连续的0
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-4-17 09:47:43 | 显示全部楼层
$n<\sqrt(n^2+1)< n+1/(2n)$,要多少个0都可以

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gxqcn + 3 + 3 这个构造证明非常巧妙!

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 楼主| 发表于 2018-4-17 17:37:52 | 显示全部楼层
是的,对很大的n,可以有多个连续的0,如果对于不大的n,可能会有连续的0吗?比如n大于等于2小于等于20,小数点后可能有连续的0吗?另外连续的1,或其他连续的数有可能吗?谢谢
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发表于 2018-4-17 19:46:13 | 显示全部楼层
$sqrt(a)$小数点后面有很多0,说明$a$接近一个完全平方数,且比它略大,而$n^2+1$是最接近完全平方数的整数,所以第一个问题是否定的。
连续的$1$和其他数是可能的,实际上你想要以什么开头都可以,比如想要以$n$开头,且$n$是一个$k$位数,那么$sqrt(1/4*10^(2k)+n+1)$就以n开头。
比如想以$2018$开头,那么可以取$sqrt(5000^2+2019)=5000.201896\cdots$
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 楼主| 发表于 2018-4-17 22:23:20 | 显示全部楼层
如果是比较小的n,小数点后多个数字后是否有连续的相同数字,有什么好的算法吗?  比如:根号5=2.2360679775。。。。有2个7,后面的数字还会有连续的吗?  根号2=1.4142135624。。。。。后面的数字会有连续的吗?
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发表于 2018-4-17 22:48:37 | 显示全部楼层
Sirius 发表于 2018-4-17 22:23
如果是比较小的n,小数点后多个数字后是否有连续的相同数字,有什么好的算法吗?  比如:根号5=2.236067977 ...

对于后面很多位,基本上就是随机的了,任何组合都是可能的
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发表于 2018-4-18 08:50:37 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2018-4-18 11:09 编辑
Sirius 发表于 2018-4-17 22:23
如果是比较小的n,小数点后多个数字后是否有连续的相同数字,有什么好的算法吗?  比如:根号5=2.236067977 ...


倒过来想:看你想要什么,我就能给你什么!!
\(\D你想要0.1111..........,\ \ \ \   则0.1111..........=\sqrt{(0.1111..........)^2}=\sqrt{\left(\frac{1}{9}\right)^2}\)
\(\D你想要0.2222..........,\ \ \ \   则0.2222..........=\sqrt{(0.2222..........)^2}=\sqrt{\left(\frac{2}{9}\right)^2}\)
\(\D你想要0.3333..........,\ \ \ \   则0.3333..........=\sqrt{(0.3333..........)^2}=\sqrt{\left(\frac{3}{9}\right)^2}\)
\(\D你想要0.123123......,\ \ \ \   则0.123123......=\sqrt{(0.123123......)^2}=\sqrt{\left(\frac{123}{999}\right)^2}\)
\(\D你想要0.20182018...,\ \ \ \   则0.20182018...=\sqrt{(0.20182018...)^2}=\sqrt{\left(\frac{2018}{9999}\right)^2}\)
\(\D你想要0.14142........,\ \ \ \   则0.14142........=\sqrt{(0.14142........)^2}=\sqrt{\left(\frac{14142}{99999}\right)^2}\)
\(\D你想要0.0000006....,\ \ \ \   则0.0000006....=\sqrt{(0.0000006....)^2}=\sqrt{\left(\frac{6}{9000000}\right)^2}\)
\(\D你想要0.12345678..,\ \ \ \   则0.12345678..=\sqrt{(0.12345678..)^2}=\sqrt{\left(\frac{12345678}{99999999}\right)^2}\)
\(\D你想要0.236067977,\ \ \ \   则0.236067977=\sqrt{(0.236067977)^2}=\sqrt{\left(\frac{236067977}{999999999}\right)^2}\)
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 楼主| 发表于 2018-4-18 14:39:52 | 显示全部楼层
根号2的小数形式中,是否存在正整数k,使得小数点后第(k+1)位到第(2k)位数码都是0?  结论有何推广?
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发表于 2018-4-18 17:09:52 | 显示全部楼层
Sirius 发表于 2018-4-18 14:39
根号2的小数形式中,是否存在正整数k,使得小数点后第(k+1)位到第(2k)位数码都是0?  结论有何推广?

对$sqrt(2)$这么好的逼近,不存在的
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 楼主| 发表于 2018-4-18 20:50:03 | 显示全部楼层
√3应该也不存在连续k个0,最小的出现连续的0的是根号多少?
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