一个数论问题

Sirius

根号n的小数点之后可以有多少个连续的0

lsr314

$n<\sqrt(n^2+1)< n+1/(2n)$，要多少个0都可以

Sirius

是的，对很大的n，可以有多个连续的0，如果对于不大的n,可能会有连续的0吗？比如n大于等于2小于等于20，小数点后可能有连续的0吗？另外连续的1，或其他连续的数有可能吗？谢谢

lsr314

$sqrt(a)$小数点后面有很多0，说明$a$接近一个完全平方数，且比它略大，而$n^2+1$是最接近完全平方数的整数，所以第一个问题是否定的。
连续的$1$和其他数是可能的，实际上你想要以什么开头都可以，比如想要以$n$开头，且$n$是一个$k$位数，那么$sqrt(1/4*10^(2k)+n+1)$就以n开头。
比如想以$2018$开头，那么可以取$sqrt(5000^2+2019)=5000.201896\cdots$

Sirius

如果是比较小的n，小数点后多个数字后是否有连续的相同数字，有什么好的算法吗？  比如：根号5=2.2360679775。。。。有2个7，后面的数字还会有连续的吗？  根号2=1.4142135624。。。。。后面的数字会有连续的吗？

lsr314

Sirius 发表于 2018-4-17 22:23
如果是比较小的n，小数点后多个数字后是否有连续的相同数字，有什么好的算法吗？  比如：根号5=2.236067977 ...

对于后面很多位，基本上就是随机的了，任何组合都是可能的

王守恩

Sirius 发表于 2018-4-17 22:23
如果是比较小的n，小数点后多个数字后是否有连续的相同数字，有什么好的算法吗？  比如：根号5=2.236067977 ...

倒过来想：看你想要什么，我就能给你什么！！
\(\D你想要0.1111..........，\ \ \ \   则0.1111..........=\sqrt{(0.1111..........)^2}=\sqrt{\left(\frac{1}{9}\right)^2}\)
\(\D你想要0.2222..........，\ \ \ \   则0.2222..........=\sqrt{(0.2222..........)^2}=\sqrt{\left(\frac{2}{9}\right)^2}\)
\(\D你想要0.3333..........，\ \ \ \   则0.3333..........=\sqrt{(0.3333..........)^2}=\sqrt{\left(\frac{3}{9}\right)^2}\)
\(\D你想要0.123123......，\ \ \ \   则0.123123......=\sqrt{(0.123123......)^2}=\sqrt{\left(\frac{123}{999}\right)^2}\)
\(\D你想要0.20182018...，\ \ \ \   则0.20182018...=\sqrt{(0.20182018...)^2}=\sqrt{\left(\frac{2018}{9999}\right)^2}\)
\(\D你想要0.14142........，\ \ \ \   则0.14142........=\sqrt{(0.14142........)^2}=\sqrt{\left(\frac{14142}{99999}\right)^2}\)
\(\D你想要0.0000006....，\ \ \ \   则0.0000006....=\sqrt{(0.0000006....)^2}=\sqrt{\left(\frac{6}{9000000}\right)^2}\)
\(\D你想要0.12345678..，\ \ \ \   则0.12345678..=\sqrt{(0.12345678..)^2}=\sqrt{\left(\frac{12345678}{99999999}\right)^2}\)
\(\D你想要0.236067977，\ \ \ \   则0.236067977=\sqrt{(0.236067977)^2}=\sqrt{\left(\frac{236067977}{999999999}\right)^2}\)

Sirius

根号2的小数形式中,是否存在正整数k,使得小数点后第(k+1)位到第(2k)位数码都是0?  结论有何推广？

lsr314

Sirius 发表于 2018-4-18 14:39
根号2的小数形式中,是否存在正整数k,使得小数点后第(k+1)位到第(2k)位数码都是0?  结论有何推广？

对$sqrt(2)$这么好的逼近，不存在的

Sirius

√3应该也不存在连续k个0，最小的出现连续的0的是根号多少？