尺规作图正十一边形（或其他问题）

wayne

问题：如何找到步骤尽可能少，但是尽可能精确的方案？

楼主的这个问题很有原创性．赞赞赞．

我一开始并没打算直面楼主的问题的．因为感觉尺规作图的复杂性通过操作步数来定，带有较大的主观性．所以直接奔着代数数的降次表达的模型了．

zeroieme

这几天参考mathe的发言，构思了一个几何数“尺规复杂度”的方法。把几何数表达为 数字1、加、减、加倍(乘2)、乘、除、开方的计算表达式。
通过对表达式的内各符号的出现次数乘上对应权重得到该表达式尺规复杂度
数字1、加、减、加倍为1次（尺规步骤）
乘除用相似三角形作出，为5
开方用直角三角形作出，为11


可以把表达式编码，用遗传算法搜索。

wayne

7561和3279已经花了我80步了

因为　$((9^2 + 6)^2 - 3^2) = 7561 -1 $ ,所以通过目测，尺规作图，不应该超过20步．　同理，5#出现的 $33412510403$也不会超过30步，别看它很大．

＝＝＝＝＝
我们也可以通过作边长为$a,b$，夹角为$60$度的三角形，来精简作图步骤．其实就是解方程$a^2 + b^2 - a b =7561$,碰巧，有解$(99,35), (99,64)$, 而 $99=(3^2+1)^2 -1, 64 = 2^{6}$

Ickiverar

wayne 发表于 2018-7-18 13:15
因为　$((9^2 + 6)^2 - 3^2) = 7561 -1 $ ,所以通过目测，尺规作图，不应该超过20步．　同理，5#出现的 $ ...

一楼那个几何数，整个花了80多步来构造。
里面那个大分数，是我几年前用余弦定理，找了个边长为三个分数的三角形的某个角的余弦构造出来的。毕竟我一开始是在纸上拿圆规画，不可能做个几千长度的边出来。
5#的数我可以试试尺规构造，如果真能简单到几十步（比如40步）之内，那这个问题就相当程度上解决了。

wayne

假设三角形三边分别是$a,b,c.$, 其中边a,b的夹角是$cos({4\pi}/11) = (a^2 + b^2 - c^2)/(2 a b)$　，那么如果我们分别调整精度．对应的最好的逼近分数分别是：

1. Table[{i, RootApproximant[N[Cos[4 Pi/11], i], 1]}, {i, 20}] // Column

复制代码

输出左侧表示误差，右侧表示最好的逼近分数

{1,2/5}
{2,5/12}
{3,5/12}
{4,27/65}
{5,27/65}
{6,415/999}
{7,1051/2530}
{8,1051/2530}
{9,1051/2530}
{10,48567/116912}
{11,48567/116912}
{12,48567/116912}
{13,48567/116912}
{14,5415746/13036953}
{15,5415746/13036953}
{16,21711551/52264724}
{17,70550399/169831125}
{18,303913147/731589224}
{19,678376693/1633009573}
{20,678376693/1633009573}

要做到楼主给的演示视频的５位精度，只需要取$cos({4\pi}/11) = (a^2 + b^2 - c^2)/(2 a b) = 27/65$, 在[0,100]的范围内，{a,b,c}的解有：${50, 39, 49}, {65, 12, 61}, {65, 42, 61}, {65, 54, 65}, {78, 35, 71}, {80, 39, 73}$，随便娶一个吧．

wayne

1. Convergents[Cos[4 Pi/11], 20]

复制代码

输出　

1. {0,1/2,2/5,5/12,27/65,194/467,221/532,415/999,636/1531,1051/2530,23758/57191,24809/59721,48567/116912,5415746/13036953,21711551/52264724,70550399/169831125,303913147/731589224,678376693/1633009573,7766056770/18694694527,16210490233/39022398627}

复制代码

$\cos \left(\frac{4 \pi }{11}\right)-\frac{27}{65} = 3.039761727 * 10^{-5}$, 再高一点， $\cos \left(\frac{4 \pi }{11}\right)-\frac{221}{532} = 1.479167300*10^{-6}$

Ickiverar

1#中大分数的来历：

$\sqrt{7561}/80=1/4 \sqrt{(11/5)^2+(15/4)^2}$

$1093/1280=(a^2+b^2-c^2)/(2ab), a=16/5, b=8/3, c=5/3$

$3279=1093*3$

着实花了我几十步。

Ickiverar

昨天（2018.7.27）近似完成了，获得了 1058866 种误差小于 10^-12 的作法，其中有两种误差最小，达到 $9.025...*10^-19$，我整理出了对应的作法，如下。

平面上有点A(0,0)与B(1,0)，
以下步骤以A为中心，B为顶点作近似正十一边形：
1. 过A与B作直线x；
2. 以A为圆心过B作圆o交x于点C(-1,0)；
3. 过A作x的垂线y交o于点D(0,1)；
4. 以A为圆心，BD为半径作圆p；
5. 以D为圆心过B作圆q交p于点E(1.3228757, 0.5)；
6. 以D为圆心，BE为半径作圆r交y于点F(0, 0.4048121)；
7. 过B与F作直线l交r于点G(-0.4140302, 0.5724165)；
8. 以E为圆心过G作圆s交y于点H(0, 1.6278680)；
9. 擦除痕迹点DEFG、圆pqrs、线yl；

10. 过C作x的垂线m；
11. 以A为圆心，BC为半径作圆t交m于点J(-1, 1.7320508)与点K(-1, -1.7320508)；
12. 以K为圆心过B作圆u交t于点L(1.5934659, -1.2086631)；
13. 以L为圆心，JK为半径作圆v交u于点M(-1.1475244, 0.9095844)；
14. 以M为圆心过A作圆w交u于点N(0.2799920, 0.5834665)；
15. 擦除痕迹点CJKLM、圆tuvw、线xm；

HN=
        1.0812816349111951651911...
2sin(2pi/11)=
        1.08128163491119516421527...
delta=
        9.025...*10^-19

16. 以B为圆心，HN为半径作圆交o于点P，则∠BAP≈4pi/11。

Ickiverar

已经上传视频操作步骤：
https://www.bilibili.com/video/av27955416/
视频里给出了构造出的几何数，可以看到这个几何数形状十分复杂。