王守恩问题： a^2+b = n(a+b^2) (a,b,n ∈ ℕ^+)

elim

证明或否证以下命题：

对每个$n\in\mathbb{N}^+,$ 方程 $a^2+b = n(a+b^2)$ 有正整数解 $(a,b)\in\mathbb{N}^+$

下面是 Pari/GP 试验代码和结果：

1. \\ Given n, The following function is to find [a,b] such that a×a+b = n(a+b×b)
   
2. 
   
3. abn(n)= {
   
4.                 my(k=n);
   
5.           my(nn=n*n);
   
6.           while((mm=(1+n*(k*k-nn)))&&(m=floor(sqrt(mm))),
   
7.                     if((k=k+2)&&(m*m==mm)&&((m+1)%(2*n)==0),
   
8.                               return([(n+k-2)/2,(m+1)/(2*n)]))
   
9.           );       
   
10.           return([]);
    
11. }
    
12. list_abn(m,n)={
    
13.                 for(k=m,n, printf("%5d: %s\n",k,abn(k)));
    
14. }

复制代码

1. (22:12) gp > list_abn(150,200)
   
2.   150: [305955, 24975]
   
3.   151: [181, 6]
   
4.   152: [176970, 14348]
   
5.   153: [26349, 2124]
   
6.   154: [325, 19]
   
7.   155: [177003, 14211]
   
8.   156: [6261, 495]
   
9.   157: [685, 48]
   
10.   158: [675, 47]
    
11.   159: [765, 54]
    
12.   160: [2295, 175]
    
13.   161: [19299851, 1521035]
    
14.   162: [562583502, 44200728]
    
15.   163: [185, 5]
    

复制代码

正在计算 n = 164， 计算结果迟迟出不来...

elim

也请高人指点，改进代码。谢谢关注。

chyanog

n=164
a, b
589075205, 45999039
688209924, 53740160
9892693163763045, 772489553297279
11557522179030884, 902490858405120
166133951700355433887685, 12972882107232245158719
194092427580815346319044, 15156072284693886250880

mathe

a=688209924,b=53740160

mathe

我们对方程做变换可以得出
$(2nb-1)^2-n(2a-n)^2=-(n^3-1)$
做变换$X=2nb-1,Y=2a-n$,得到二次丢番图方程$X^2-nY^2=-(n^3-1)$
其中还要求$X-= -1(mod 2n), 2|Y+n$
其中已知有特解$X=-1,Y=n$
在n不是完全平方数时，设Pell方程$X^2-nY^2=1$有通解$X_h,Y_h$,其中$X_h>0,Y_h>0$而且,显然$X_h -= +-1(mod n)$ 而且容易证明必然存在部分$X_h$使得$X_h=1(mod n)$
于是$X=n^2Y_h-X_h, Y=nX_h-Y_h$满足方程$X^2-nY^2=-(n^3-1)$，而且这里的X显然满足$X -= -X_h(mod n)$
而在n是奇数时，由于$X_h,Y_h$必然一奇一偶，得出$X,Y$都是奇数，所以满足$X-= -1(mod 2n), 2|Y+n$
另外可以看出
$X_2=X_1^2+nY_1^2=2nY_1^2+1, Y_2=2X_1Y_1$满足$2|Y_2, X_2 -=1(mod 2n)$
由此可以得出在n为偶数时，取$X=n^2Y_2-X_2, Y=nX_2-Y_2$就可以满足$X -= -1(mod 2n),2|Y+n$
所以上面方法可以只要n不是完全平方数，我们都可以找到解

elim

chyanog 发表于 2018-5-31 14:09
n=164
a, b
589075205, 45999039

请问算法？ 谢谢 chyanog， mathe

mathe

而对于n是完全平方数的情况，要复杂一些，我们可以设$n=m^2$,
得出方程$(mY+X)(mY-X)=m^6-1$,其中$X -= -1(mod 2m^2), 2|Y+m^2$
所以要求将$m^6-1$分解为两个正整数的乘积，要求它们的差模$2m^2$是-2
于是在m为偶数时，我们可以取$mY-X=1,mY+X=m^6-1$,得出$X={m^6}/2-1,Y={m^5}/2$,满足条件
在m为奇数时，我们可以取$mY-X=m+1, mY+X=m^5-m^4+m^3-m^2+m-1$,于是$X={m^5-m^4+m^3-m^2}/2-1,Y={m^4-m^3+m^2-m}/2+1$
容易检查出$2m^2|X+1, 2|Y-1$,所以对应的X,Y也满足条件

elim

mathe 发表于 2018-5-31 15:18
而对于n是完全平方数的情况，要复杂一些，我们可以设$n=m^2$,
得出方程$(mY+X)(mY-X)=m^6-1$,其中$X -= -1 ...

谢谢 mathe 漂亮的解答！