阶乘之和

数论爱好者

搜了一下论坛,关于阶乘有好几篇,但没有找到阶乘之和
1!+2!+3!+4!+....n!=?
有没有一个通项式?比如如果输入到500!,岂不把人累死.
单算n!是有个近似公式的,阶乘之和有没有近似公式?

282842712474

这个需求是个伪命题。

当$n$比较小时，可以直接计算，当$n$比较大时，$n!$比$(n-1)!$大$n$倍，也就是说直接认为求和结果就是$n!$，相对误差也就是$1/n$左右，退一步，认为求和结果就是$n!+(n-1)!$，那么相对误差就是$1/n^2$左右。只要取几项计算，相对误差就可以降到足够低～而每一项你可以用斯特灵公式来计算。

数论爱好者

要保证最高位的10个数字为精确数字,可以尝试下面的公式,倒数的话,最大的九个阶乘已经包含,如算至30!,则30!到22!已经准确无误的计算了
公式要大于10!时用,小于10!每减少3!,少加一个加号项.
\[\frac{n*n!}{n-1}+\frac{(n-3)*(n-3)!}{n-4}+\frac{(n-6)*(n-6)!}{n-7}\]

王守恩

数论爱好者 发表于 2018-6-7 20:26
要保证最高位的10个数字为精确数字,可以尝试下面的公式,倒数的话,最大的九个阶乘已经包含,如算至30!,则30! ...

讨论！我们是否可以这样认为。

\(\D\lim_{n\to\infty}\frac{1!+2!+3!+4!+5!+...+n!}{n!}=1\)

\(\D\lim_{n\to\infty}\frac{1!+3!+5!+7!+9!+...+(2n-1)!}{(2n-1)!}=1\)

\(\cdots\)

\(\D\lim_{n\to\infty}\frac{1!×3!×5!×7!×9!×...×(2n-1)!}{\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)!}=1\)

笨笨

王守恩 发表于 2018-6-9 07:22
讨论！我们是否可以这样认为。

\(\D\lim_{n\to\infty}\frac{1!+2!+3!+4!+5!+...+n!}{n!}=1\)

清华大学数学竞赛培训教材试题 ，相当于考研试题………………

数论爱好者

专门有人算过此问题,资料到212的阶乘
https://oeis.org/A007489