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[原创] 阶乘之和

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发表于 2018-6-6 20:25:56 | 显示全部楼层 |阅读模式

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搜了一下论坛,关于阶乘有好几篇,但没有找到阶乘之和
1!+2!+3!+4!+....n!=?
有没有一个通项式?比如如果输入到500!,岂不把人累死.
单算n!是有个近似公式的,阶乘之和有没有近似公式?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-6-7 19:05:57 | 显示全部楼层
这个需求是个伪命题。

当$n$比较小时,可以直接计算,当$n$比较大时,$n!$比$(n-1)!$大$n$倍,也就是说直接认为求和结果就是$n!$,相对误差也就是$1/n$左右,退一步,认为求和结果就是$n!+(n-1)!$,那么相对误差就是$1/n^2$左右。只要取几项计算,相对误差就可以降到足够低~而每一项你可以用斯特灵公式来计算。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2018-6-7 20:26:37 | 显示全部楼层
要保证最高位的10个数字为精确数字,可以尝试下面的公式,倒数的话,最大的九个阶乘已经包含,如算至30!,则30!到22!已经准确无误的计算了
公式要大于10!时用,小于10!每减少3!,少加一个加号项.
\[\frac{n*n!}{n-1}+\frac{(n-3)*(n-3)!}{n-4}+\frac{(n-6)*(n-6)!}{n-7}\]
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-6-9 07:22:01 | 显示全部楼层
数论爱好者 发表于 2018-6-7 20:26
要保证最高位的10个数字为精确数字,可以尝试下面的公式,倒数的话,最大的九个阶乘已经包含,如算至30!,则30! ...


讨论!我们是否可以这样认为。

\(\D\lim_{n\to\infty}\frac{1!+2!+3!+4!+5!+...+n!}{n!}=1\)

\(\D\lim_{n\to\infty}\frac{1!+3!+5!+7!+9!+...+(2n-1)!}{(2n-1)!}=1\)

\(\cdots\)

\(\D\lim_{n\to\infty}\frac{1!×3!×5!×7!×9!×...×(2n-1)!}{\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)!}=1\)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-6-17 23:23:31 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2018-6-9 07:22
讨论!我们是否可以这样认为。

\(\D\lim_{n\to\infty}\frac{1!+2!+3!+4!+5!+...+n!}{n!}=1\)

清华大学数学竞赛培训教材试题 ,相当于考研试题………………
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点评

谢谢笨笨(别怪我不礼貌,是你自己取的)!  发表于 2018-6-18 06:03
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
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