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[求助] 有正整数解吗?

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发表于 2018-6-28 11:28:57 | 显示全部楼层 |阅读模式

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    n,m 是正整数。下面的算式有正整数解吗?

\(n^2=16m^8+64m^7+384m^6+928m^5+968m^4+464m^3+96m^2+8m+1\)      
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-7-2 07:02:52 | 显示全部楼层
不像有的样子
07:00:34> inline(f(m)=16*m^8+64*m^7+384*m^6+928*m^5+968*m^4+464*m^3+96*m^2+8*m+1)
07:01:10> parfor(m=1,10000000,my(g=f(m));if(sqrtint(g)^2-g==0,print(m)))
time = 5min, 14,484 ms.

话说那些数字是从哪儿冒出来的?

点评

谢谢.·.·.!  发表于 2018-7-3 19:57
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2018-7-2 13:14:39 | 显示全部楼层

有正整数解吗?

.·.·. 发表于 2018-7-2 07:02
不像有的样子
07:00:34> inline(f(m)=16*m^8+64*m^7+384*m^6+928*m^5+968*m^4+464*m^3+96*m^2+8*m+1)
07: ...



这些数字是“数学中国论坛”一位网友的求助:《找完美长方体的问题》。
一个长方体有8个顶点,从某个顶点出发,到另外7个顶点可以有7条线段,
如果这7条线段都是正整数,则称这个长方体为完美长方体(又称欧拉砖)。

点评

谢谢!知道了,好的。  发表于 2018-7-2 16:43
切记:千万别发本论坛的链接到那个“数学中国论坛”,因为不想招惹他们,也不想被他们骚扰。  发表于 2018-7-2 16:31
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-7-2 16:18:53 | 显示全部楼层
计算$(4*m^4+8*m^3+40*m^2+36*m-151)^2=16*m^8 + 64*m^7 + 384*m^6 + 928*m^5 + 968*m^4 + 464*m^3 - 10784*m^2 - 10872*m + 22801$
而$(4*m^4+8*m^3+40*m^2+36*m-150)^2=16*m^8 + 64*m^7 + 384*m^6 + 928*m^5 + 976*m^4 + 480*m^3 - 10704*m^2 - 10800*m + 22500$
其中第一个平方在$m>=2$时恒小于题目中给定的表达式
其中第二个平方在$m>=39$时恒大于题目中给定的表达式
由于这两个表达式是连续的平方数,所以我们得到在$m>=39$时题目中给定的表达式不是完全平方数
(实际上还有$m<=-3$时第一个平方也小于题目中的表达式,$m<=-38$时第二个平方也恒大于题目中表达式)
于是我们只要穷举$-37<=m<=38$就可以找出所有使得表达式为完全平方数的情况
计算机穷举可以发现只有m=-1和m=0题目中表达式才是完全平方数

点评

学习了……果然要先取倒数吗……想着直接写O(1)毕竟常数项最小……然后就被教做人了  发表于 2018-7-4 02:12
好!!!解了一道题,等于解了10道题,100道题,.....  发表于 2018-7-3 19:52
? sqrt(16+64*x+384*x^2+928*x^3+968*x^4+O(x^5)) %1 = 4 + 8*x + 40*x^2 + 36*x^3 - 151*x^4 + O(x^5)  发表于 2018-7-3 11:50
强! 怎么凑出这个式子的……  发表于 2018-7-3 00:45
漂亮!  发表于 2018-7-2 22:09
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
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