有正整数解吗？

王守恩

    n，m 是正整数。下面的算式有正整数解吗？

\(n^2=16m^8+64m^7+384m^6+928m^5+968m^4+464m^3+96m^2+8m+1\)      

.·.·.

不像有的样子
07:00:34> inline(f(m)=16*m^8+64*m^7+384*m^6+928*m^5+968*m^4+464*m^3+96*m^2+8*m+1)
07:01:10> parfor(m=1,10000000,my(g=f(m));if(sqrtint(g)^2-g==0,print(m)))
time = 5min, 14,484 ms.

话说那些数字是从哪儿冒出来的？

王守恩

.·.·. 发表于 2018-7-2 07:02
不像有的样子
07:00:34> inline(f(m)=16*m^8+64*m^7+384*m^6+928*m^5+968*m^4+464*m^3+96*m^2+8*m+1)
07: ...

这些数字是“数学中国论坛”一位网友的求助：《找完美长方体的问题》。
一个长方体有8个顶点，从某个顶点出发，到另外7个顶点可以有7条线段，
如果这7条线段都是正整数，则称这个长方体为完美长方体(又称欧拉砖)。

mathe

计算$(4*m^4+8*m^3+40*m^2+36*m-151)^2=16*m^8 + 64*m^7 + 384*m^6 + 928*m^5 + 968*m^4 + 464*m^3 - 10784*m^2 - 10872*m + 22801$
而$(4*m^4+8*m^3+40*m^2+36*m-150)^2=16*m^8 + 64*m^7 + 384*m^6 + 928*m^5 + 976*m^4 + 480*m^3 - 10704*m^2 - 10800*m + 22500$
其中第一个平方在$m>=2$时恒小于题目中给定的表达式
其中第二个平方在$m>=39$时恒大于题目中给定的表达式
由于这两个表达式是连续的平方数，所以我们得到在$m>=39$时题目中给定的表达式不是完全平方数
（实际上还有$m<=-3$时第一个平方也小于题目中的表达式,$m<=-38$时第二个平方也恒大于题目中表达式)
于是我们只要穷举$-37<=m<=38$就可以找出所有使得表达式为完全平方数的情况
计算机穷举可以发现只有m=-1和m=0题目中表达式才是完全平方数