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[提问] 严格单调递增的连续函数的可微性

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发表于 2018-7-1 19:35:54 | 显示全部楼层 |阅读模式

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如果连续函数f(x)满足如下条件:
(1)定义域和值域均为R。
(2)对于任意实数x和任意实数y,若x>y,则f(x)>f(y)。

问:这样的函数f(x)是否可能在任何一个区间上都有不可导点?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-7-1 21:32:45 来自手机 | 显示全部楼层
我们可以构造一个在所有有理点不可导的连续单调严格增函数
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-7-1 21:37:40 来自手机 | 显示全部楼层
设函数$f_u(x)$在x小于u时为常数0,在x不小于u不大于u+1时为x-u,大于u+1时为1.这是一个连续非严格增函数。然后我们任意选择和为1的正项级数$1=\sum_{n=1}^{\infty}a_n$,然后我们把所有有理数按任何顺序排列成数列$p_1,p_2,...,p_n,...$
定义函数$F(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n f_{p_n}(x)$满足条件
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
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