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[讨论] 函数问题

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发表于 2018-7-9 02:33:19 | 显示全部楼层 |阅读模式

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x
函数\(y=f(x)\)满足如下条件:
(1)\(y=f(x)\)的定义域为\([0,+\infty)\)。
(2)\(f(0)=0\)。若\(x \neq 0\),则\(0 \lt f(x) \lt 2x\)。
(3)\(g(x)=2x-f(x)\)和\(h(x)=2x+f(x)\)在\([0,+\infty)\)上都是严格单调递增函数。

问:
(1)\(f(x)\)是否一定连续?
(2)\(f(x)\)是否一定单调?


还有其他可能的性质也可以补充。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-7-9 07:50:13 | 显示全部楼层
$|f(x_1)-f(x_2)|<2|x_1-x_2|$,所以绝对连续,但是不需要单调
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发表于 2018-7-9 09:01:33 | 显示全部楼层
应该是可以构造一个连续的,非单调的函数$f(x)$,使得$f(0)=0$,$-2<=f'(x) <=2 $

点评

赞  发表于 2018-7-9 09:41
这个很简单,比如$f(x)=x/2+sin(x)$,于是$f'(x)=1/2+cos(x)$  发表于 2018-7-9 09:33
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发表于 2018-7-9 09:44:48 | 显示全部楼层
还是mathe敏捷神勇.我费了半天劲,整出来的还是一个很复杂的函数,菲涅尔积分函数,

1.png

点评

虽然构造复杂,但是多一个例子总是好的  发表于 2018-7-9 09:53
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