求解一道高阶非线性微分方程

葡萄糖

1. DSolve[(x + y[x]^2) y'''[x] + 6 y[x] y'[x] y''[x] + 3 y''[x] + 2 y'[x]^3 == 0, y[x], x]

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\[(x + y^2) y''' + 6 yy'y'' + 3 y'' + 2 y'^3 = 0\]
Wolfram Mathematica可以解，但是输出结果是y的显式形式，有没有隐式形式？

wayne

根据楼主提示，表达式全是y的显式表达，所以可以整体的玩下去．
因为\[((x+y^2)y'')' = (1+2yy')y''+(x+y^2)y'''\]
\[(yy'^2)' = y'^3+2yy'y''\]

所以，第一个式子加上第二个式子的２倍，然后两边积分得到：  \[2yy'^2 +(x+y^2)y'' + 2y' = C_1\]
如法炮制．得到　\[(x+y^2)y'+y = C_1 x +C_2\]
分离变量，就能得到隐式的表达　\[xy+\frac{1}{3}y^3 = \frac{1}{2}C_1x^2+C_2x+C_3\]

葡萄糖

碰巧翻书翻到原题
《常微分方程学习指导书》
1.7 几种可降阶的高阶方程
P51, T10