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[分享] 求解一道高阶非线性微分方程

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发表于 2018-7-12 12:06:46 | 显示全部楼层 |阅读模式

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  1. DSolve[(x + y[x]^2) y'''[x] + 6 y[x] y'[x] y''[x] + 3 y''[x] + 2 y'[x]^3 == 0, y[x], x]
复制代码

\[(x + y^2) y''' + 6 yy'y'' + 3 y'' + 2 y'^3 = 0\]
Wolfram Mathematica可以解,但是输出结果是y的显式形式,有没有隐式形式?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-7-13 13:20:28 | 显示全部楼层
根据楼主提示,表达式全是y的显式表达,所以可以整体的玩下去.
因为\[((x+y^2)y'')' = (1+2yy')y''+(x+y^2)y'''\]
\[(yy'^2)' = y'^3+2yy'y''\]

所以,第一个式子加上第二个式子的2倍,然后两边积分得到:  \[2yy'^2 +(x+y^2)y'' + 2y' = C_1\]
如法炮制.得到 \[(x+y^2)y'+y = C_1 x +C_2\]
分离变量,就能得到隐式的表达 \[xy+\frac{1}{3}y^3 = \frac{1}{2}C_1x^2+C_2x+C_3\]
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