自招暑期班的某几何题

wayne

设$D,E,F$分别是三角形$ABC$三边,$BC,CA,AB$上的点，且$AD,BE$交于点$X$,$BE,CF$交于点$Y$,$CF,AD$交于点$Z$,且$X$在线段$BY$上,$Y$在线段$CZ$上,$Z$在线段$AX$上,若已知面积$[AFZ] = [BDX] = [CEY] = [XYZ] =4$，试求$[ABC]$

chyanog

$S_{\text{△ABC}}=12 \sqrt{5}+28$
设BC=a, CA=b, AB=c, BD=a1, CE=b1, AF=c1，S△ABC=s, 可以列出下面的方程组求解

1. Solve[{(a1^2 b1 s)/(a (a (b-b1)+a1 b1))==4,(b1^2 c1 s)/(b (b (c-c1)+b1 c1))==4, (a1 s c1^2)/( c (a c+a1 (-c+c1)))==4, ((a1 b1 (c-2 c1)+a (b-b1) (c-c1)+a1 b (-c+c1))^2 s)/((a (b-b1)+a1 b1) (b (c-c1)+b1 c1) (a c+a1 (-c+c1)))==4, s>0, a+b>c, b+c>a, c+a>b, 0<a1<a, 0<b1<b, 0<c1<c}, {s,a1,b1,c1}, Reals]//FullSimplify//Expand//Normal

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输出
$$\left\{s\to 12 \sqrt{5}+28,\text{a1}\to \frac{3 a}{2}-\frac{\sqrt{5} a}{2},\text{b1}\to \frac{3 b}{2}-\frac{\sqrt{5} b}{2},\text{c1}\to \frac{3 c}{2}-\frac{\sqrt{5} c}{2}\right\}$$

补充内容 (2018-7-17 15:11):
这样设更好一点，BD=k1*a, CE=k2*b, AF=k3*c 。
[code]Solve[{4/s==(k1 k3^2)/(1-k1+k1 k3)==(k2 k1^2)/(1-k2+k1 k2)==(k3 k2^2)/(1-k3+k2 k3)==(-1+k1+k2+k3-k1 k2-k2 k3-k3 k1+2 k1 k2 k3)^2/((1-k1+k1 k3)(1-k...

补充内容 (2018-7-17 15:12):
这样设更好一点，BD=k1*a, CE=k2*b, AF=k3*c
[code]Solve[{4/s==(k1 k3^2)/(1-k1+k1 k3)==(k2 k1^2)/(1-k2+k1 k2)==(k3 k2^2)/(1-k3+k2 k3)==(-1+k1+k2+k3-k1 k2-k2 k3-k3 k1+2 k1 k2 k3)^2/((1-k1+k1 k3)(1-k2+...

wayne

这个是试卷笔试题。 我提供我的方法，不知道有没有更简洁的解答。盗用楼上的:




设$[XYZ] = s,   [XYCD]=a,  [YZAE]=b, [ZXBF]=c$,  连接$BZ$, 设$[BXZ]=x$，则：
首先根据 $[AZF] = [XYZ]$ 得知 \(FX\varparallel AY\), ${FZ}/{YZ} = {XZ}/{AZ}$,即 ${c-x}/{x+s} = x/{c-x+s} = c/{c+2s}$ ,${x}/{c+s} = c/{2c+2s} ,  x=c/2$
然后，根据平行关系，面积比 ${[ACF]} / {[BCF]} = {AF}/{BF}={XY}/{XB},  {b+2s}/{a+c+2s} = s/x = {2s}/{c}$， 即${b+2s}/{a+b+c+4s} = s/x = {2s}/{c+2s}$，即$2s (a+b+c+4s) = (b+2s)(c+2s)$
根据对称性，得知，同时还有 $2s (a+b+c+4s) = (a+2s)(b+2s)$ ,所以 $a=b=c$,代入得 $a=(1+\sqrt{5})s$
所以$[ABC] = 3a+4s = 4(7+3\sqrt{5})$

倪举鹏

Solve[{4/(4 + x) == (x - y)/(8 + x + y), (y + 4)/(x + 4) == (8 + x)/(8 + 2*x)}, {x, y}]       x -> 4 (1 + Sqrt[5])      16+3*x

倪举鹏

还有个困难问题：这个外三角形是不是一定得是正三角形？

mathe

形状不重要，面积比是在平行投影下保持不变的

mathematica

我只会假设是正三角形来解这个题目,而且还只会用mathematica来解方程,人肉计算目前不会
使用梅内劳斯定理,使用余弦定理,使用60度条件,使用正弦定理,使用面积相等,
然后得出最后结果

chyanog

类似的题，AD、BE、CF共点，把△ABC分割为六个小三角形。已知其中三个三角形的面积分别为s1,s2,s3，求△ABC的面积s。

s和s1,s2,s3的关系为
$s^4 s_1 s_2 s_3-s^3 s_1 s_2 s_3 \left(s_1+s_2+s_3\right)-s^2 \left(s_1^2 s_2^3+4 s_1^2 s_2^2 s_3+s_1^3 s_3^2+4 s_1^2 s_2 s_3^2+4 s_1 s_2^2 s_3^2+s_2^2 s_3^3\right)-s s_1 s_2 s_3 \left(s_1^2 s_2+3 s_1 s_2^2+3 s_1^2 s_3+5 s_1 s_2 s_3+s_2^2 s_3+s_1 s_3^2+3 s_2 s_3^2\right)-2 s_1^2 s_2^2 s_3^2 \left(s_1+s_2+s_3\right)=0$

相关的一道初中题：https://www.zybang.com/question/ ... e120d2fc4ea6c5.html，题中给出了四个小三角形的面积，看来是方便初中生计算，实际上三个就够了

补充内容 (2018-7-19 18:34):

1. GroebnerBasis[{s==s1+s2+s3+s4+s5+s6,s2/s4==(s1+s2+s6)/(s3+s4+s5),s3/s5==(s2+s3+s4)/(s1+s5+s6),s1/s6==(s1+s3+s5)/(s2+s4+s6)},s,{s4,s5,s6},MonomialOrder->EliminationOrder][[1]]//Factor

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gxqcn

重新整理一下：
\[s^4-(s_1+s_2+s_3)s^3-\left(\frac{s_1 s_2^2}{s_3}+\frac{s_2 s_3^2}{s_1}+\frac{s_3 s_1^2}{s_2}+4 s_1 s_2+4 s_2 s_3+4 s_3 s_1\right)s^2-\left(s_1^2 s_2+s_2^2 s_3+s_3^2 s_1+3 s_1 s_2^2+3 s_2 s_3^2+3 s_3 s_1^2+5 s_1 s_2 s_3\right)s-2 s_1 s_2 s_3\left(s_1+s_2+s_3\right)=0\]

zhouguang

其实，因为“形状不重要，面积比是在平行投影下保持不变的。”
所以当问题只限于面积时，等效于ABC为正三角形时的情形。
这种方法我认为是成立而且简洁的，但是不知道能否被自招的阅卷老师所接受。

而问题的另一方面是：
如果是一道几何题，我们可以“容易”地看出它满足某种对称性，从而进行简化；
但是如果一上来就面对的是诸如238层中具有对称性的式子，我们或许反而不能（不敢）用对称性进行“简化”了。