初二代数题

wayne

chyanog 发表于 2018-7-15 20:05
推广到n个数时，x是这个多项式方程的根
$\frac{\left(x+\sqrt{x^2-4}\right)^n-\left(x-\sqrt{x^2-4}\righ ...

赞．我也找到了这个规律．
先是根据连分数计算,提取分子．排除平凡解$a+1/a$．

1. Table[{n,Expand[Numerator[Factor[FromContinuedFraction[Join[{a},x (-1)^Range[0,n-2],{(-1)^(n-1) a}]]-x]/(-1-a^2+a x)]]},{n,20}]//Column

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然后，找到了这个关于$x$的多项式方程的规律，　$\sum _{k=0}^{\frac{n}{2}} (-1)^{k-1} C_{n-k-1}^{k} x^{n-2 k-1} = 　\frac{ (x-\sqrt{x^2-4})^n-(x+\sqrt{x^2-4})^n}{2^{n}\sqrt{x^2-4}}=0$

换种表达方式，就是设关于$u$的方程$u^2-x u+1=0$的两个根是$u_1,u_2$,那么对于一般的$n$, $x$的值就是关于参数$x$的$n-1$次多项式方程$\frac{u_1^n-u_2^n}{u_1-u_2} = 0$的实根．

{2,-x}
{3,1-x^2}
{4,2 x-x^3}
{5,-1+3 x^2-x^4}
{6,-3 x+4 x^3-x^5}
{7,1-6 x^2+5 x^4-x^6}
{8,4 x-10 x^3+6 x^5-x^7}
{9,-1+10 x^2-15 x^4+7 x^6-x^8}
{10,-5 x+20 x^3-21 x^5+8 x^7-x^9}
{11,1-15 x^2+35 x^4-28 x^6+9 x^8-x^10}
{12,6 x-35 x^3+56 x^5-36 x^7+10 x^9-x^11}
{13,-1+21 x^2-70 x^4+84 x^6-45 x^8+11 x^10-x^12}
{14,-7 x+56 x^3-126 x^5+120 x^7-55 x^9+12 x^11-x^13}
{15,1-28 x^2+126 x^4-210 x^6+165 x^8-66 x^10+13 x^12-x^14}
{16,8 x-84 x^3+252 x^5-330 x^7+220 x^9-78 x^11+14 x^13-x^15}
{17,-1+36 x^2-210 x^4+462 x^6-495 x^8+286 x^10-91 x^12+15 x^14-x^16}
{18,-9 x+120 x^3-462 x^5+792 x^7-715 x^9+364 x^11-105 x^13+16 x^15-x^17}
{19,1-45 x^2+330 x^4-924 x^6+1287 x^8-1001 x^10+455 x^12-120 x^14+17 x^16-x^18}
{20,10 x-165 x^3+792 x^5-1716 x^7+2002 x^9-1365 x^11+560 x^13-136 x^15+18 x^17-x^19}

mathe

http://mathworld.wolfram.com/Che ... ftheSecondKind.html

mathe

把你的x替换为2x就是第二类切皮雪夫多项式。不过在n是合数时，会包含周期是n的因子的解

mathematica

初二学生能解决这个问题吗

wayne

进一步推广， 条件里的$a+1/b$  换成 $a+k/b$, 也就是$ x_1+k/x_2 = x_2 + k/x_3 =.... = x_n +k/x_1 = x$，
那么，代入法化简后最终剩下的是关于$x$的多项式，$(a^(n - 1) - b^(n - 1))/(a - b)=0$,其中$a,b$是关于$t$的二次方程$t^2 - x t + k=0$的两根

1. Block[{n = 6, k = 2},
   
2. FullSimplify[
   
3.   Function[{a, b}, (a^(n + 1) - b^(n + 1))/(a - b)] @@
   
4.    SolveValues[t^2 - x t + k == 0, t]]]

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mathe

对于wayne上面提到的问题，我们可以设$x_i=b\frac {ay_i+1}{by_i+1}$, 由于x=a+b,k=ab
代入递推式$x_{i-1} = x-\frac k{x_i}=a+b-\frac {ab}{x_i}$得到
$b\frac {ay_{i-1}+1}{by_{i-1}+1}=a+b-a\frac{by_i+1}{ay_i+1}=\frac{a^2y_i+b}{ay_i+1}$
由此我们得出$y_{i-1}=\frac ab y_i$
由此我们经过n轮替换可以得到$y_1=(\frac ab)^n y_1$
也就是方程有解时要求$\frac ab$是n次单位根。
有点奇怪，和wayne有点对不上。

然后我们设$\omega^{2n}=1$,也就是它是2n次单位根，于是可以设$a=\sqrt{k}\omega, b=\sqrt{k}\bar{\omega}$
所以我们得出$x=2\sqrt{k} Re(\omega)$,然后代入可以知道只要选择$|y_1|=\frac1{\sqrt{k}}$就可以得到实数解$x_i$。

wayne

对的上，n个变量有$n-1$个变换，所以，应该是$y_1=(\frac ab)^{n-1} y_1$.  然后我得到的表达式 是 $(a^(n - 1) - b^(n - 1))/(a - b)=0$， 两边都除以$b^{n-1}$也是$(fracab)^(n - 1)=1$.

经过mathe神奇的变换，这题目可以当作 一个很有趣的 高中竞赛题了。

northwolves

$x_1+k/x_2 = x_2 + k/x_3 =.... = x_n +k/x_1 = x$
$x_i=\sqrt{k}*x_i,x_1+1/x_2 = x_2 + 1/x_3 =.... = x_n +1/x_1 = \frac{x}{\sqrt{k}}$