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[原创] 用 mathematica 求多元函数的极值,为何有的不成功

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发表于 2018-7-19 23:46:39 | 显示全部楼层 |阅读模式

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(1) 当 \( a, b, c  \) 均非负但不全为零时,求  \( \displaystyle \frac{a}{2a+b+c}+\frac{b}{2b+a+c}+\frac{c}{2c+a+b} \) 的最小值。

(2) 当 \( a, b, c  \) 均非负但不全为零时,求  \( \displaystyle \frac{a}{2a+b+c}+\frac{b}{2b+a+c}+\frac{c}{2c+a+b}-\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2} \) 的最小值。

用 mathematica 做,对于 (1):
  1. Minimize[{a/(2 a + b + c) + b/(2 b + a + c) + c/(2 c + b + a), a >= 0,
  2.    b >= 0, c > 0}, {a, b, c}]
复制代码

可得到最小值是 \( \frac{1}{2} \)。

但是用同样方法做 (2),就出不了结果了。这是因为软件还不够强大?有没有改进的方法,让软件能够胜任?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-7-20 17:12:14 | 显示全部楼层
你为什么不能用数值解呢?
数值解精确到一千位,然后用rootapproximate函数反推精确解

点评

噢,如何具体操作? 你来算一下(2)是什么结果?  发表于 2018-7-20 17:56
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发表于 2018-7-20 18:26:10 | 显示全部楼层
既然是对称形式,可以消对称减少一个变量
  1. a/(2 a+b+c)+b/(2 b+a+c)+c/(2 c+a+b)-(a b+b c+c a)/(a^2+b^2+c^2)/.{a->u c,b->v c}//Factor/@#&//Minimize[{#,u>=0,v>=0},{u,v}]&
复制代码





菜鸟既看不懂一行mathematica代码也只能用数值解
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发表于 2018-7-20 18:31:08 | 显示全部楼层
  1. a/(2 a+b+c)+b/(2 b+a+c)+c/(2 c+a+b)-(a b+b c+c a)/(a^2+b^2+c^2)/.{a->u c,b->v c}//Factor/@#&//Minimize[{#,u>=0,v>=0},{u,v}]&//{#[[1]],{a->u c,b->v c}/.#[[2]]}&
复制代码

这样能还原中间变量
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 楼主| 发表于 2018-7-22 09:11:01 | 显示全部楼层
zeroieme 发表于 2018-7-20 18:26
既然是对称形式,可以消对称减少一个变量

谢谢! 菜鸟还须慢慢发呆一阵子。
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发表于 2018-7-23 13:07:53 | 显示全部楼层
TSC999 发表于 2018-7-22 09:11
谢谢! 菜鸟还须慢慢发呆一阵子。
  1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
  2. NMinimize[{a/(2*a+b+c)+b/(2*b+a+c)+c/(2*c+b+a)-(a*b+b*c+c*a)/(a^2+b^2+c^2),a>=0,b>=0,c>=0},{a,b,c},
  3. AccuracyGoal->800,PrecisionGoal->800,WorkingPrecision->1200]
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最小值-0.25,但是点似乎不唯一,a=b=c的时候取到
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发表于 2018-7-23 13:13:36 | 显示全部楼层
  1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
  2. b=a;
  3. c=a;
  4. ff=a/(2*a+b+c)+b/(2*b+a+c)+c/(2*c+b+a)-(a*b+b*c+c*a)/(a^2+b^2+c^2)
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这下你发现ff=-1/4
有无穷多组解答,
所以可以用数值解先测试一下结果,最后才追求符号解
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发表于 2018-7-23 16:29:11 | 显示全部楼层
本帖最后由 zeroieme 于 2018-7-23 16:30 编辑
TSC999 发表于 2018-7-22 09:11
谢谢! 菜鸟还须慢慢发呆一阵子。


说错了,可约去一变量的理由应当是每个分式的分子分母是齐次多项式,而不是对称形式。
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