五角星边长比例乘积问题

chyanog · 发表于 2018-7-23 10:43:23

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如图所示，$A_1 B_1 A_2 B_2 A_3 B A_4 B_4 A_5 B_5$是任意五角星，求证$\frac{A_1 B_1}{A_2 B_1}\cdot \frac{A_2 B_2}{A_3 B_2}\cdot \frac{A_3 B_3}{A_4 B_3}\cdot \frac{A_4 B_4}{A_5 B_4}\cdot \frac{A_5 B_5}{A_1 B_5}=1$.
另外，图中还有类似的5个比例的乘积为常数，你能找出来吗？

mathematica · 发表于 2018-7-23 13:25:15

结论不错,很漂亮!但是我肯定不会证明

lsr314 · 发表于 2018-7-23 13:56:05

$\D \frac{A_1B_5}{A_1B_1}=\frac{\sin{\angle A_1B_1B_5}}{\sin{\angle A_1B_5B_1}}$
其他四个三角形同理，然后由对顶角相等就约掉了。

hujunhua · 发表于 2018-8-1 15:01:49

“另外，图中还有类似的5个比例的乘积为常数，你能找出来吗？”

用完全五线形的方法来标识.
直线 i 与直线 j 交点标为 `A_{ij}`,
直线 i 被直线 j 和直线 k 所截的线段标为 `i_{jk}`
楼主的等式可表示如下
捕获.PNG

这个等式在5阶置换群下都是成立的。
因此共是120个等式，考虑到对于5阶循环群是旋转同构的，故可归于24个等式。
可能存在其它的旋转同构，最后可归于6个等式吧。

mathe · 发表于 2018-8-1 17:47:07

这些等式本质上都应该一样，只是轮换对称一下

chyanog · 发表于 2018-8-1 18:46:02

补充一个
$\frac{A_1 B_4}{A_1 B_2}\cdot \frac{A_2 B_5}{A_2 B_3}\cdot \frac{A_3 B_1}{A_3 B_4}\cdot \frac{A_4 B_2}{A_4 B_5}\cdot \frac{A_5 B_3}{A_5 B_1}=1$

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