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[讨论] 五角星边长比例乘积问题

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发表于 2018-7-23 10:43:23 | 显示全部楼层 |阅读模式

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20180723102342.png
如图所示,$A_1 B_1 A_2 B_2 A_3 B A_4 B_4 A_5 B_5$是任意五角星,求证$\frac{A_1 B_1}{A_2 B_1}\cdot \frac{A_2 B_2}{A_3 B_2}\cdot \frac{A_3 B_3}{A_4 B_3}\cdot \frac{A_4 B_4}{A_5 B_4}\cdot \frac{A_5 B_5}{A_1 B_5}=1$.
另外,图中还有类似的5个比例的乘积为常数,你能找出来吗?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-7-23 13:25:15 | 显示全部楼层
结论不错,很漂亮!但是我肯定不会证明

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不会纯几何证明可以解析几何硬算呀,可以借助Mathematica  发表于 2018-7-23 14:13
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发表于 2018-7-23 13:56:05 | 显示全部楼层
\(\D \frac{A_1B_5}{A_1B_1}=\frac{\sin{\angle A_1B_1B_5}}{\sin{\angle A_1B_5B_1}}\)
其他四个三角形同理,然后由对顶角相等就约掉了。

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我以为这个问题很难的,没想到还挺简单的  发表于 2018-7-30 13:44

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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2018-8-1 15:01:49 | 显示全部楼层
“另外,图中还有类似的5个比例的乘积为常数,你能找出来吗?”

用完全五线形的方法来标识.
直线 i 与直线 j 交点标为 `A_{ij}`,
直线 i 被直线 j 和直线 k 所截的线段标为 `i_{jk}`
楼主的等式可表示如下
捕获.PNG
这个等式在5阶置换群下都是成立的。
因此共是120个等式,考虑到对于5阶循环群是旋转同构的,故可归于24个等式。
可能存在其它的旋转同构,最后可归于6个等式吧。

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赞赞赞  发表于 2018-8-9 11:11
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2018-8-1 17:47:07 来自手机 | 显示全部楼层
这些等式本质上都应该一样,只是轮换对称一下
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 楼主| 发表于 2018-8-1 18:46:02 | 显示全部楼层
补充一个
$\frac{A_1 B_4}{A_1 B_2}\cdot \frac{A_2 B_5}{A_2 B_3}\cdot \frac{A_3 B_1}{A_3 B_4}\cdot \frac{A_4 B_2}{A_4 B_5}\cdot \frac{A_5 B_3}{A_5 B_1}=1$
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