将16个1排成4×4的方阵，把其中6个1替换成0，满足横竖1的个数都是偶数的情况有几种？

chyanog

将16个1排成4×4的方阵，把其中6个1替换成0，满足横竖1的个数都是偶数的情况有几种？
1  1  1  1
1  1  1  1
1  1  1  1
1  1  1  1

gxqcn

替换后总和为 10，将其拆分为四个偶数的情形为：10=4+4+2+0 或 10=4+2+2+2
易知10=4+4+2+0不可取，故恰好有一行及一列均保留 4 个“1”，将它们划去（同时划去了 7 个“1”），
则剩下一个 3x3 的方阵，每行每列恰好1个1，满足该要求的有 3! 种，
所以共 \(C_4^1C_4^1*3!=96\) 种

hujunhua

若换掉8个1呢，还有什么妙法？

hujunhua

换掉8个1为0，还剩8个1，排成的方阵可分为两大类。一类是8个1布满两行或两列，共有2C(4,2)=12个方阵。另一类就是每行每列刚好2个1和2个0，这一类的计数稍为难理顺一些。

hujunhua

如果一个{0,1}方阵的两行是0,1互易对应的，就称两行是互补的。
引理一   4阶方阵每行每列都恰好有2个1和2个0，其行必可分为互补的2对，列亦然。
证明：行含有2个0和2个1，共有C(4,2)=6种行向量，结成3个互补对。从这6个行向量中取4个，按抽屉原理至少有两行是互补对，它们的和为{1,1,1,1}。
由于4行总和为{2,2,2,2}，故剩下两行之和亦为{1,1,1,1}，即也是互补对。列同理。证毕。

这就容易计数了：
第1行的互补行可有行2,3,4三选，两对互补行都可任选C(4,2)种行向量，故共有3×6×6=108种方阵。
加上楼上的12个，总计120个。

chyanog

类似的问题：n阶方阵,每行每列都是3个1,其余为0,这样的矩阵共有多少? 这个更难一些

hujunhua

上述问题偏于一般化，恐有现成文献。我想从中分离出一种特殊方阵。
且把这种方阵称为{n,3}方阵。
我们把不能划分为两块较小的{n1,3}方阵和{n2,3}方阵（n1+n2=n）的{n,3}方阵称为不可划分的{n,3}方阵。
求不可划分的{n,3}方阵总数。