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[提问] 将16个1排成4×4的方阵,把其中6个1替换成0,满足横竖1的个数都是偶数的情况有几种?

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发表于 2018-7-23 20:24:59 | 显示全部楼层 |阅读模式

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将16个1排成4×4的方阵,把其中6个1替换成0,满足横竖1的个数都是偶数的情况有几种?
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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-7-24 09:26:04 | 显示全部楼层
替换后总和为 10,将其拆分为四个偶数的情形为:10=4+4+2+0 或 10=4+2+2+2
易知10=4+4+2+0不可取,故恰好有一行及一列均保留 4 个“1”,将它们划去(同时划去了 7 个“1”),
则剩下一个 3x3 的方阵,每行每列恰好1个1,满足该要求的有 3! 种,
所以共 \(C_4^1C_4^1*3!=96\) 种

点评

方法不错  发表于 2018-9-3 11:26
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-9-3 13:24:57 | 显示全部楼层
若换掉8个1呢,还有什么妙法?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-9-3 19:47:26 来自手机 | 显示全部楼层
换掉8个1为0,还剩8个1,排成的方阵可分为两大类。一类是8个1布满两行或两列,共有2C(4,2)=12个方阵。另一类就是每行每列刚好2个1和2个0,这一类的计数稍为难理顺一些。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2018-9-3 19:47:27 来自手机 | 显示全部楼层

设想了一种计数方法

如果一个{0,1}方阵的两行是0,1互易对应的,就称两行是互补的。
引理一   4阶方阵每行每列都恰好有2个1和2个0,其行必可分为互补的2对,列亦然。
证明:行含有2个0和2个1,共有C(4,2)=6种行向量,结成3个互补对。从这6个行向量中取4个,按抽屉原理至少有两行是互补对,它们的和为{1,1,1,1}。
由于4行总和为{2,2,2,2},故剩下两行之和亦为{1,1,1,1},即也是互补对。列同理。证毕。

这就容易计数了:
第1行的互补行可有行2,3,4三选,两对互补行都可任选C(4,2)种行向量,故共有3×6×6=108种方阵。
加上楼上的12个,总计120个。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2018-9-3 21:10:26 | 显示全部楼层
类似的问题:n阶方阵,每行每列都是3个1,其余为0,这样的矩阵共有多少? 这个更难一些
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发表于 2018-9-4 00:38:28 | 显示全部楼层
上述问题偏于一般化,恐有现成文献。我想从中分离出一种特殊方阵。
且把这种方阵称为{n,3}方阵。
我们把不能划分为两块较小的{n1,3}方阵和{n2,3}方阵(n1+n2=n)的{n,3}方阵称为不可划分的{n,3}方阵。
求不可划分的{n,3}方阵总数。
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