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[讨论] 一个好玩的智力测试题与推广(推广暂时没答案)

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发表于 2018-7-24 21:21:26 | 显示全部楼层 |阅读模式

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题目:圆上有50个点,两两以线段相连,问这些线段在圆内至多有多少个交点(下面涂黑的都是刮刮乐……需要选中之后才能阅读,最好不要直接ctrl+A,这样会少好多乐趣)
提示:如果把50改成n,或许答案会更加明显一些
答案:230300,或者更一般的,n(n-1)(n-2)(n-3)/24
解释:只要注意到最理想的情况下,任意4个圆上的点都会对应圆内的一个交点
推广:“最多”其实给了一种最理想的情况,然而如果我们追求对称性的话,是有可能减少交点个数的……所以推广问题是,$最少$有几个交点

说明:原问题没记错是测试智商用的,真正难度略高于高考而大致相当于高中竞赛的热身题(因为高考考生一般转不过这个弯而小于竞赛(竞赛党可以使用找规律猜答案+数学归纳法强行证明结论,而只要一个人能够忍受不厌其烦地相邻两项做差,找到一个前6项是0,0,0,1,5,15的数列的规律并不难,后面的数学归纳法更是标准套路。))

然而如果把“最多”换成“最少”……暂时没想到答案,感觉应该是利用对称性画出来的图形交点会少。
具体会少多少不知道
是不是最优不知道
这个猜测,距离答案,任重而道远……
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-7-26 06:17:26 | 显示全部楼层
题目中的 “圆上有50个点”,应该指 “圆周上有50个点” 吧?取其中 4 个点就在圆内有一个交点,如果所有的交点没有重合的,那么至多共有:  $C_50^4 $ 个交点。

最少有几个交点? 大概对于正 50 边形,交点最少吧?(重合的交点最多)

点评

是的,不要直接说答案啊……你这么写让别人怎么做题啊:)  发表于 2018-7-28 23:43
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发表于 2018-7-26 06:57:20 | 显示全部楼层
容易知道奇数个点正多边形通常不是最优的,但是对于偶数个点的正多边形,是否存在比正多边形交点更少的呢?
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发表于 2018-7-26 17:03:02 | 显示全部楼层
正十边形有161个内交点,正十二边形有301个内交点(oeis的A006561),正十二边形去掉隔一个点的两个点(即去掉12点钟和2点钟对应的点)后,就只剩下157个内交点了,比161少啦,哈哈。
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发表于 2018-7-27 12:31:42 | 显示全部楼层

http://oeis.org/A230281
有一些相关的信息。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2018-7-28 17:34:01 来自手机 | 显示全部楼层
链接中多边形不需要内接圆,还是有区别的
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2018-7-28 23:55:22 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2018-7-28 17:34
链接中多边形不需要内接圆,还是有区别的

听你这么一说……感觉胡乱想的推广可以死在这里了……
数学家们连不带圆的都搞不定……

本来的智力题,带上圆只是便于说明,以及过滤掉一些非凸的答案,然后在我们的推广上带上圆……
完全不像人能做出来的……

本来凑例子就够麻烦了,还要保证例子的全部点都在圆上……
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