一个好玩的智力测试题与推广（推广暂时没答案）

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题目：圆上有50个点，两两以线段相连，问这些线段在圆内至多有多少个交点（下面涂黑的都是刮刮乐……需要选中之后才能阅读，最好不要直接ctrl+A，这样会少好多乐趣）
提示：如果把50改成n，或许答案会更加明显一些
答案：230300，或者更一般的，n(n-1)(n-2)(n-3)/24
解释：只要注意到最理想的情况下，任意4个圆上的点都会对应圆内的一个交点
推广：“最多”其实给了一种最理想的情况，然而如果我们追求对称性的话，是有可能减少交点个数的……所以推广问题是，$最少$有几个交点

说明：原问题没记错是测试智商用的，真正难度略高于高考而大致相当于高中竞赛的热身题（因为高考考生一般转不过这个弯而小于竞赛（竞赛党可以使用找规律猜答案+数学归纳法强行证明结论，而只要一个人能够忍受不厌其烦地相邻两项做差，找到一个前6项是0,0,0,1,5,15的数列的规律并不难，后面的数学归纳法更是标准套路。））

然而如果把“最多”换成“最少”……暂时没想到答案，感觉应该是利用对称性画出来的图形交点会少。
具体会少多少不知道
是不是最优不知道
这个猜测，距离答案，任重而道远……

TSC999

题目中的 “圆上有50个点”，应该指 “圆周上有50个点” 吧？取其中 4 个点就在圆内有一个交点，如果所有的交点没有重合的，那么至多共有：  $C_50^4 $ 个交点。

最少有几个交点？ 大概对于正 50 边形，交点最少吧？（重合的交点最多）

mathe

容易知道奇数个点正多边形通常不是最优的，但是对于偶数个点的正多边形，是否存在比正多边形交点更少的呢？

zhouguang

正十边形有161个内交点，正十二边形有301个内交点（oeis的A006561），正十二边形去掉隔一个点的两个点（即去掉12点钟和2点钟对应的点）后，就只剩下157个内交点了，比161少啦，哈哈。

zhouguang

在
http://oeis.org/A230281
有一些相关的信息。

mathe

链接中多边形不需要内接圆，还是有区别的

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mathe 发表于 2018-7-28 17:34
链接中多边形不需要内接圆，还是有区别的

听你这么一说……感觉胡乱想的推广可以死在这里了……
数学家们连不带圆的都搞不定……

本来的智力题，带上圆只是便于说明，以及过滤掉一些非凸的答案，然后在我们的推广上带上圆……
完全不像人能做出来的……

本来凑例子就够麻烦了，还要保证例子的全部点都在圆上……