三圆两两相交，求公共部分面积

chyanog

三个圆的半径分别为r1, r2, r3，三个圆心距分别为d1, d2, d3,  如何用r1,r2,r3,d1,d2,d3表示它们重叠部分的面积？
三圆相交有多种情况，可以先考虑这种


相关链接
两个圆的情况，http://mathworld.wolfram.com/Circle-CircleIntersection.html


这个论文里的方法应该是要先计算三段弦长，感觉这种方法不算简便
http://citeseerx.ist.psu.edu/vie ... p=rep1&type=pdf


补充内容 (2018-8-3 10:54):
为了更清晰起见，约定圆1和圆2的圆心距为d1, 圆2和圆3的圆心距为d2, 圆3和圆1的圆心距为d3

mathematica

计算三个弦长是最简单的办法了,不要挑剔了!
解析解估计是没有的

chyanog

对于这种情况，我计算的一个比较简洁的式子，几何意义很明显
$\frac{1}{4} \left(\sqrt{d_1+d_2-d_3} \sqrt{d_1-d_2+d_3} \sqrt{-d_1+d_2+d_3} \sqrt{d_1+d_2+d_3}-\sqrt{d_1+r_1-r_2} \sqrt{d_1-r_1+r_2} \sqrt{-d_1+r_1+r_2} \sqrt{d_1+r_1+r_2}-\sqrt{d_2+r_2-r_3} \sqrt{d_2-r_2+r_3} \sqrt{-d_2+r_2+r_3} \sqrt{d_2+r_2+r_3}-\sqrt{d_3+r_1-r_3} \sqrt{d_3-r_1+r_3} \sqrt{-d_3+r_1+r_3} \sqrt{d_3+r_1+r_3}\right)+\frac{1}{2} r_1^2 \left(-\cos ^{-1}\left(\frac{d_1^2-d_2^2+d_3^2}{2 d_1 d_3}\right)+\cos ^{-1}\left(\frac{d_1^2+r_1^2-r_2^2}{2 d_1 r_1}\right)+\cos ^{-1}\left(\frac{d_3^2+r_1^2-r_3^2}{2 d_3 r_1}\right)\right)+\frac{1}{2} r_2^2 \left(-\cos ^{-1}\left(\frac{d_1^2+d_2^2-d_3^2}{2 d_1 d_2}\right)+\cos ^{-1}\left(\frac{d_1^2-r_1^2+r_2^2}{2 d_1 r_2}\right)+\cos ^{-1}\left(\frac{d_2^2+r_2^2-r_3^2}{2 d_2 r_2}\right)\right)+\frac{1}{2} r_3^2 \left(-\cos ^{-1}\left(\frac{-d_1^2+d_2^2+d_3^2}{2 d_2 d_3}\right)+\cos ^{-1}\left(\frac{d_3^2-r_1^2+r_3^2}{2 d_3 r_3}\right)+\cos ^{-1}\left(\frac{d_2^2-r_2^2+r_3^2}{2 d_2 r_3}\right)\right)$

Mathematica检验代码

1. Clear["`*"];
   
2. 
   
3. (*用数值积分计算面积*)
   
4. s1[{{{x1_,y1_},r1_},{{x2_,y2_},r2_},{{x3_,y3_},r3_}}]:=
   
5.   NIntegrate[Boole[(x-x1)^2+(y-y1)^2<r1^2&&(x-x2)^2+(y-y2)^2<r2^2&&(x-x3)^2+(y-y3)^2<r3^2],{x,-∞,∞},{y,-∞,∞}];
   
6. 
   
7. (*已知三边长计算三角形面积*)
   
8. A[a_,b_,c_]:=
   
9.   1/4 Sqrt[a+b-c] Sqrt[a-b+c] Sqrt[-a+b+c] Sqrt[a+b+c];
   
10. 
    
11. A2[r1_,r2_,r3_,d1_,d2_,d3_]:=
    
12.   1/2 r1^2 (ArcCos[(d1^2+r1^2-r2^2)/(2 d1 r1)]+ArcCos[(d3^2+r1^2-r3^2)/(2 d3 r1)]-ArcCos[(d1^2+d3^2-d2^2)/(2 d1 d3)]);
    
13. 
    
14. s2[{{{x1_,y1_},r1_},{{x2_,y2_},r2_},{{x3_,y3_},r3_}}]:=
    
15.   With[{d1=Norm[{x1,y1}-{x2,y2}], d2=Norm[{x2,y2}-{x3,y3}], d3=Norm[{x3,y3}-{x1,y1}]},
    
16.     A[d1,d2,d3] - A[d1,r1,r2] - A[d2,r2,r3] - A[d3,r3,r1] + A2[r1,r2,r3,d1,d2,d3] + A2[r2,r3,r1,d2,d3,d1] + A2[r3,r1,r2,d3,d1,d2]];
    
17. 
    
18. (*画图*)
    
19. graph[{{{x1_,y1_},r1_},{{x2_,y2_},r2_},{{x3_,y3_},r3_}}]:=
    
20.   Show[BoundaryDiscretizeRegion[RegionIntersection@@Rationalize[{Disk[{x1,y1},r1],Disk[{x2,y2},r2],Disk[{x3,y3},r3]},0.01]],
    
21.     Graphics[{Circle[{x1,y1},r1],Circle[{x2,y2},r2],Circle[{x3,y3},r3]}],ImageSize->Tiny];
    
22. 
    
23. (*测试*)
    
24. Table[pts={{{Sqrt[3]/2,-1/2}+RandomReal[0.2,2],RandomReal[{1,3}]},{{0,1}+RandomReal[0.2,2],RandomReal[{1,2}]},{{-Sqrt[3]/2,-1/2}+RandomReal[0.2,2],RandomReal[{1,2}]}};{graph[pts],s1[pts],s2[pts]},10]

复制代码

TSC999

圆心间的距离写成 \( d_{12}, d_{13},d_{23}\)  似乎更好，这样清楚，公式不用解释、都看得懂。

mathematica

不如你去求两个球相交的体积，或者三个球相交的体积！

西瓜

TSC999 发表于 2018-8-3 07:19
圆心间的距离写成 \( d_{12}, d_{13},d_{23}\)  似乎更好，这样清楚，公式不用解释、都看得懂。

你好，想问一下，d1\d2\d3 与d12\d13\d23是怎样对应的？麻烦了

补充内容 (2020-12-22 08:31):
看到对应关系了，谢谢

creasson

感谢西瓜把这个很有意思的题目翻出来，对于我正在完善的复向量方法是个很好的素材。

我就不重新码字了，直接粘贴一下过程。


这个关系我尚未验算，不过就过程来看，如果相交部分$DEF$ 在三角形$ABC$中时，大概无误。

再贴一下两圆相交的情形，这个是没问题的。

楚丹逸

chyanog 发表于 2018-8-2 14:42
对于这种情况，我计算的一个比较简洁的式子，几何意义很明显
$\frac{1}{4} \left(\sqrt{d_1+d_2-d_3} \s ...

请问是基于什么思路去求解的呢？没有看明白您公式中含义，可以解答一下吗