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[讨论] 如何用软件把好像不对称的代数式变成明显对称的?

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发表于 2018-8-2 22:33:27 | 显示全部楼层 |阅读模式

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今有一个关于 \( a, b, c  \) 的代数式如下:
\( b (a + c) (a - c)^2 (a c + b^2 ) + a c (b^2 - c^2) ( b^2 - a^2) \)

上面这个表达式其实是关于 \( a, b, c  \) 对称的,但是表面上不容易看出来。

如何用软件让这个式子恢复其本来的对称面目?

为何上式关于 \( a, b, c  \) 是对称的? 验证方法是:

给 \( a, b, c  \) 赋以不同的数字,计算此式的值;然后随意交换赋值字母,可发现此式的值不变:

  1. a = 1.1; b = 2.2; c = 3.4;
  2. f = b (a + c) (a - c)^2 (a c + b^2 ) + a c (b^2 - c^2) ( b^2 - a^2)
  3. b = 1.1; c = 2.2; a = 3.4;
  4. f
  5. c = 1.1; a = 2.2; b = 3.4;
  6. f
复制代码

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2018-8-3 06:59:51 | 显示全部楼层
有一种笨办法是这 样的:
  1. f = b (a + c) (a - c)^2 (a c + b^2 ) +
  2.     a c (b^2 - c^2) ( b^2 - a^2) /. {a -> A, b -> B, c -> C};
  3. f1 = f /. {A -> b, B -> c, C -> a};
  4. f2 = f /. {A -> c, B -> a, C -> b};
  5. f3 = f /. {A -> a, B -> b, C -> c};
  6. (f1 + f2 + f3)/3
复制代码


结果是:
\( (b c (a^2-b^2) (a^2-c^2)+a c (b^2-a^2) (b^2-c^2)+a b (c^2-a^2) (c^2-b^2)+a (c-b)^2 (b+c) (a^2+b c)+b (a-c)^2 (a+c) (a c+b^2)+c (a+b) (b-a)^2 (a b+c^2))/3\)

我觉得上面这方法笨笨的,当然结果很可能也不是最佳的,虽然看上去式子是明显对称的。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-8-3 08:58:29 | 显示全部楼层
TSC999 发表于 2018-8-3 06:59
有一种笨办法是这 样的:

当然是Expand命令
你看结果
\[(a^4 b c+a b^4 c+a b c^4)+(a^3 b^3+a^3 c^3+b^3 c^3)-a^3 b^2 c-a^3 b c^2-a^2 b^3 c-a^2 b c^3-a b^3 c^2-a b^2 c^3\]
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2018-8-3 09:02:16 | 显示全部楼层
  1. SymmetricReduction[b (a+c) (a-c)^2 (a c+b^2)+a c (b^2-c^2) (b^2-a^2),{a,b,c}]
复制代码

返回结果是:$9 a^2 b^2 c^2+a b c (a+b+c)^3-7 a b c (a b+a c+b c) (a+b+c)+(a b+a c+b c)^3$

点评

好好好!跟 wayne 大师学了一招降龙十八掌。  发表于 2018-8-3 17:55
这个结果很不错,学到一招  发表于 2018-8-3 09:25
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2018-8-3 09:18:21 | 显示全部楼层
wayne 发表于 2018-8-3 09:02
返回结果是:$9 a^2 b^2 c^2+a b c (a+b+c)^3-7 a b c (a b+a c+b c) (a+b+c)+(a b+a c+b c)^3$


\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & a & b & c \\
1 & a & 0 & z & y \\
1 & b & z & 0 & x \\
1 & c & y & x & 0 \\
\end{pmatrix}
四面体体积公式如何搞呢?
{{0, 1, 1, 1, 1}, {1, 0, a, b, c}, {1, a, 0, z, y}, {1, b, z, 0, x}, {1, c, y, x, 0}}
结果
-2 a^2 x + 2 a b x + 2 a c x - 2 b c x - 2 a x^2 + 2 a b y -
2 b^2 y - 2 a c y + 2 b c y + 2 a x y + 2 b x y - 2 b y^2 -
2 a b z + 2 a c z + 2 b c z - 2 c^2 z + 2 a x z + 2 c x z +
2 b y z + 2 c y z - 2 x y z - 2 c z^2

点评

http://mathworld.wolfram.com/Tetrahedron.html  发表于 2018-8-3 09:20
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发表于 2018-8-3 10:06:25 | 显示全部楼层
除了写成行列式是对称的,还有什么办法搞成对称的呢?
https://en.wikipedia.org/wiki/Di ... Menger_determinants
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 楼主| 发表于 2018-8-3 17:58:24 | 显示全部楼层
代数式就像个变色龙,可以千变万化!谢谢 mathe 和  wayne 大师的指教!
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 楼主| 发表于 2018-8-3 19:06:50 | 显示全部楼层
原式还可以变成下面的对称表达式:

\( a^3 b^3 + b^3 c^3 + c^3 a^3 +
a b c (a^3 + b^3 + c^3 - a b (a + b) - b c (b + c) - c a (c + a)) \)
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