如何用软件把好像不对称的代数式变成明显对称的？

TSC999

今有一个关于 \( a, b, c  \) 的代数式如下:
\( b (a + c) (a - c)^2 (a c + b^2 ) + a c (b^2 - c^2) ( b^2 - a^2) \)

上面这个表达式其实是关于 \( a, b, c  \) 对称的，但是表面上不容易看出来。

如何用软件让这个式子恢复其本来的对称面目？

为何上式关于 \( a, b, c  \) 是对称的？ 验证方法是：

给 \( a, b, c  \) 赋以不同的数字，计算此式的值；然后随意交换赋值字母，可发现此式的值不变：

1. a = 1.1; b = 2.2; c = 3.4;
   
2. f = b (a + c) (a - c)^2 (a c + b^2 ) + a c (b^2 - c^2) ( b^2 - a^2)
   
3. b = 1.1; c = 2.2; a = 3.4;
   
4. f
   
5. c = 1.1; a = 2.2; b = 3.4;
   
6. f

复制代码

TSC999

有一种笨办法是这 样的：

1. f = b (a + c) (a - c)^2 (a c + b^2 ) +
   
2.     a c (b^2 - c^2) ( b^2 - a^2) /. {a -> A, b -> B, c -> C};
   
3. f1 = f /. {A -> b, B -> c, C -> a};
   
4. f2 = f /. {A -> c, B -> a, C -> b};
   
5. f3 = f /. {A -> a, B -> b, C -> c};
   
6. (f1 + f2 + f3)/3

复制代码

结果是：
\( (b c (a^2-b^2) (a^2-c^2)+a c (b^2-a^2) (b^2-c^2)+a b (c^2-a^2) (c^2-b^2)+a (c-b)^2 (b+c) (a^2+b c)+b (a-c)^2 (a+c) (a c+b^2)+c (a+b) (b-a)^2 (a b+c^2))/3\)

我觉得上面这方法笨笨的，当然结果很可能也不是最佳的，虽然看上去式子是明显对称的。

mathematica

TSC999 发表于 2018-8-3 06:59
有一种笨办法是这 样的：

当然是Expand命令
你看结果
\[(a^4 b c+a b^4 c+a b c^4)+(a^3 b^3+a^3 c^3+b^3 c^3)-a^3 b^2 c-a^3 b c^2-a^2 b^3 c-a^2 b c^3-a b^3 c^2-a b^2 c^3\]

wayne

1. SymmetricReduction[b (a+c) (a-c)^2 (a c+b^2)+a c (b^2-c^2) (b^2-a^2),{a,b,c}]

复制代码

返回结果是：$9 a^2 b^2 c^2+a b c (a+b+c)^3-7 a b c (a b+a c+b c) (a+b+c)+(a b+a c+b c)^3$

mathematica

wayne 发表于 2018-8-3 09:02
返回结果是：$9 a^2 b^2 c^2+a b c (a+b+c)^3-7 a b c (a b+a c+b c) (a+b+c)+(a b+a c+b c)^3$

\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & a & b & c \\
1 & a & 0 & z & y \\
1 & b & z & 0 & x \\
1 & c & y & x & 0 \\
\end{pmatrix}
四面体体积公式如何搞呢?
{{0, 1, 1, 1, 1}, {1, 0, a, b, c}, {1, a, 0, z, y}, {1, b, z, 0, x}, {1, c, y, x, 0}}
结果
-2 a^2 x + 2 a b x + 2 a c x - 2 b c x - 2 a x^2 + 2 a b y -
2 b^2 y - 2 a c y + 2 b c y + 2 a x y + 2 b x y - 2 b y^2 -
2 a b z + 2 a c z + 2 b c z - 2 c^2 z + 2 a x z + 2 c x z +
2 b y z + 2 c y z - 2 x y z - 2 c z^2

mathematica

除了写成行列式是对称的,还有什么办法搞成对称的呢?
https://en.wikipedia.org/wiki/Di ... Menger_determinants

TSC999

代数式就像个变色龙，可以千变万化！谢谢 mathe 和  wayne 大师的指教！

TSC999

原式还可以变成下面的对称表达式：

\( a^3 b^3 + b^3 c^3 + c^3 a^3 +
a b c (a^3 + b^3 + c^3 - a b (a + b) - b c (b + c) - c a (c + a)) \)