如何把四面体体积公式的表达式尽可能地化简简单?

mathematica

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. mat={{0,1,1,1,1},{1,0,a^2,b^2,c^2},{1,a^2,0,z^2,y^2},{1,b^2,z^2,0,x^2},{1,c^2,y^2,x^2,0}};
   
3. MatrixForm[mat]
   
4. out=ExpandAll@Det[mat]
   

复制代码

a b c是同一个定点出发的三条棱,
x y z分别是他们的对边,
请问如何尽可能地把表达式化简呢?

这个体积多项式是
-2 a^4 x^2 + 2 a^2 b^2 x^2 + 2 a^2 c^2 x^2 - 2 b^2 c^2 x^2 -
2 a^2 x^4 + 2 a^2 b^2 y^2 - 2 b^4 y^2 - 2 a^2 c^2 y^2 +
2 b^2 c^2 y^2 + 2 a^2 x^2 y^2 + 2 b^2 x^2 y^2 - 2 b^2 y^4 -
2 a^2 b^2 z^2 + 2 a^2 c^2 z^2 + 2 b^2 c^2 z^2 - 2 c^4 z^2 +
2 a^2 x^2 z^2 + 2 c^2 x^2 z^2 + 2 b^2 y^2 z^2 + 2 c^2 y^2 z^2 -
2 x^2 y^2 z^2 - 2 c^2 z^4

\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & a^2 & b^2 & c^2 \\
1 & a^2 & 0 & z^2 & y^2 \\
1 & b^2 & z^2 & 0 & x^2 \\
1 & c^2 & y^2 & x^2 & 0 \\
\end{pmatrix}

http://mathworld.wolfram.com/Tetrahedron.html
https://en.wikipedia.org/wiki/Di ... Menger_determinants

可参考资料
https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 767&fromuid=865

mathematica

已知任意四面体（三棱锥）六条棱的棱长，求其体积。
不妨记同一顶点引出的三条棱棱长的平方分别为a，b，c，它们的对棱棱长的平方分别为d，e，f，则四面体的体积V满足：
V=
sqrt[ad(b+c+e+f-a-d)+be(a+c+d+f-b-e)+cf(a+b+d+e-c-f)-abf-bcd-cae-def)]/12
证明的话，有空再发。
补充一些特殊四面体的体积公式：
①直角四面体（三条侧棱两两互相垂直，记其长分别为a,b,c）：V=abc/6
②正四面体：棱长为a，则V=a^3*sqrt(2)/12
③等腰四面体（三组对棱都相等，记每组对棱的长分别为a,b,c，p=(a^2+b^2+c^2)/2）V=sqrt[(p-a)(p-b)(p-c)]
http://tieba.baidu.com/p/2588543174

这儿是一种方式

mathematica

(*四面体体积公式化简*)
Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
mat={{0,1,1,1,1},{1,0,a^2,b^2,c^2},{1,a^2,0,z^2,y^2},{1,b^2,z^2,0,x^2},{1,c^2,y^2,x^2,0}};
MatrixForm[mat]
out=ExpandAll@Det[mat]
out2=2*(c*c+z*z)*(a*a*x*x+b*b*y*y-c*c*z*z)
out3=2*(a*a+x*x)*(b*b*y*y+c*c*z*z-a*a*x*x)
out4=2*(b*b+y*y)*(a*a*x*x+c*c*z*z-b*b*y*y)
Factor[out-out2-out3-out4]

根据上面的代码,得到四部分
2 (c^2+z^2) (a^2 x^2+b^2 y^2-c^2 z^2)
2 (a^2+x^2) (-a^2 x^2+b^2 y^2+c^2 z^2)
2 (b^2+y^2) (a^2 x^2-b^2 y^2+c^2 z^2)
-2 (b^2 c^2 x^2+a^2 c^2 y^2+a^2 b^2 z^2+x^2 y^2 z^2)

mathematica

从网上找到的

mathematica

上面的

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. mat={{0,1,1,1,1},{1,0,a^2,b^2,c^2},{1,a^2,0,z^2,y^2},{1,b^2,z^2,0,x^2},{1,c^2,y^2,x^2,0}};
   
3. MatrixForm[mat]
   
4. out=Expand[Det[mat]/2]
   
5. Expand[Det[mat/.Thread[{x^2,y^2,z^2}->{b^2+c^2-X,a^2+c^2-Y,a^2+b^2-Z}]]/2]
   

复制代码

\[-a^4 x^2+a^2 b^2 x^2+a^2 b^2 y^2-a^2 b^2 z^2+a^2 c^2 x^2-a^2 c^2 y^2+a^2 c^2 z^2+a^2 \left(-x^4\right)+a^2 x^2 y^2+a^2 x^2 z^2-b^4 y^2-b^2 c^2 x^2+b^2 c^2 y^2+b^2 c^2 z^2+b^2 x^2 y^2-b^2 y^4+b^2 y^2 z^2-c^4 z^2+c^2 x^2 z^2+c^2 y^2 z^2-c^2 z^4-x^2 y^2 z^2\]
做下面的变换
\[X=b^2+c^2-x^2\]
\[Y=a^2+c^2-y^2\]
\[Z=a^2+b^2-z^2\]
四面体体积公式
\[\text{Volume}=\frac{\sqrt{4 a^2 b^2 c^2-a^2 X^2-b^2 Y^2-c^2 Z^2+X Y Z}}{12}\]

我以为是发现了新大陆,没想到其实只不过是下面的变种
\[V = \frac {abc} {6} \sqrt{1 + 2\cos{\alpha}\cos{\beta}\cos{\gamma}-\cos^2{\alpha}-\cos^2{\beta}-\cos^2{\gamma}}\]

mathematica

https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... =8607&pid=60620
这个答案居然在这,我还居然顶过他的回复!

看来葡萄糖知道的也很多

nyy

mathematica 发表于 2018-8-6 12:00
已知任意四面体（三棱锥）六条棱的棱长，求其体积。
不妨记同一顶点引出的三条棱棱长的平方分别为a，b，c ...

这儿有个错误，隐藏了2023-2018=5年了，我今天才发现
③等腰四面体（三组对棱都相等，记每组对棱的长分别为a,b,c，p=(a^2+b^2+c^2)/2）V=sqrt[(p-a)(p-b)(p-c)]

这个应该是V=sqrt[(p-a)(p-b)(p-c)]/3

应该再除以3才对，我已经验算过了！

nyy

https://baike.baidu.com/item/%E7 ... 18877386?fr=aladdin

这边有体积公式，也是除以3的，我今天自己验算体积公式，发现他的答案有问题

nyy

nyy 发表于 2023-3-1 15:01
https://baike.baidu.com/item/%E7%AD%89%E9%9D%A2%E5%9B%9B%E9%9D%A2%E4%BD%93/18877386?fr=aladdin

这边 ...

https://arxiv.org/pdf/2107.08388.pdf

又发现一个体积公式表达式