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[原创] 《代数学教程》各卷目录

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发表于 2018-8-26 13:27:25 | 显示全部楼层 |阅读模式

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第一卷《集合论》目录(约22万字)
编者的话………………………………………………………………………………………Ⅰ
第一部分  朴素集合论
第一章  集合及其运算
§1集合的基本概念………………………………………………………………………… 1
1.1集合及其表示(1)  1.2 集合的相等•子集(3)  1.3数集(5)
§2集合的运算……………………………………………………………………………… 6  
2.1集合的幂集•集合的后续(6)  2.2集合的并与交(8)  2.3集合的差(9)  2.4集合的对称差(12)  
2.5有序对•集合的直乘积(14)  2.6维恩图与包含排斥原理(17)
§3集合族•集合序列……………………………………………………………………… 19  
3.1集合族(19)  3.2集合序列的极限(21)
第二章  关系•映射
§1关系的基本概念…………………………………………………………………………27
1.1 关系及其相关概念(27)  1.2等价关系(29)  1.3数学的公理结构•同构(30)
§2集合的划分………………………………………………………………………………32
2.1集合的划分与覆盖(32)  2.2等价关系与划分的联系(34)  2.3划分的乘法与加法(36)
§3映射………………………………………………………………………………………37
3.1映射的基本概念(37)  3.2满射•单射•一一映射•映射的复合(40)  3.3映射的逆(43)  3.4子集的正象和逆象(46)  3.5映射族•映射族的并(49)  3.6映射的限制•映射的延拓•映射的相容性(53)
3.7元素族(55)  3.8集合族的超积•选择公理(56)
§4集合的特征函数与模糊子集……………………………………………………………58
4.1集合的特征函数(58)  4.2模糊子集合(60)  
§5有限集合的映射与组合论………………………………………………………………66
5.1组合论的基本原理(66)  5.2组合论的基本公式(68)  
第三章  基数理论
§1有限集……………………………………………………………………………………71
1.1历史摘述(71)  1.2集合的等价(72)  1.3有限集合的性质(73)
§2无限集合…………………………………………………………………………………76
2.1无穷集的特征•戴德金意义下的有穷与无穷(76)  2.2可数集合(77)  2.3可数集的例子(82)
2.4不可数集合(84)
§3集合的比较………………………………………………………………………………87
3.1基数的概念(87)  3.2自然数作为有限集合的基数(89)  3.3基数等于ℵ的集合的例子(90)
3.4基数的比较(94)  3.5大于ℵ的基数(98)  3.6集合论悖论•连续统假设(101)  
§4基数的运算…………………………………………………………………………… 102
4.1基数运算及其初等性质(102)  4.2 基数的幂(107)  4.3基数运算的进一步性质(112)  4.4 葛尼
格定理(114)  
第四章  序型理论
§1序型的基本概念……………………………………………………………………… 118
1.1有序集(118)  1.2有序集的相似(120)  1.3序型(121)  1.4稠密的序型与连续的序型•有序集的分割(123)  1.5有序n元组的推广•任意个集合的直乘积(126)
§2序型的运算…………………………………………………………………………… 128
2.1序型的和(128)  2.2序型的积(131)  2.3势ℵ0与ℵ的型(136)
§3良序集………………………………………………………………………………… 139
3.1良序集(139)  3.2选择公理与良序定理(142)  3.3部分序集•佐恩引理(147)  3.4须用选择公理的数学定理的例子(149)
§4序数…………………………………………………………………………………… 152
4.1序数及其大小(152)  4.2超限归纳法•超限递归定义(155)  4.3序数的运算(157)  4.4乘法的推广•康托积(159)  4.5自然和与自然积(163)  4.6普遍积的概念(164)
§5可数超限数…………………………………………………………………………… 168
5.1可数超限数(168)  5.2可数超限数的进一步性质•敛尾性概念(170)  
§6阿列夫•数类………………………………………………………………………… 172
6.1阿列夫(172)  6.2数类(174)  6.3规则的与不规则的序数•给定序型所敛尾的最小初始数(181)
第二部分  公理集合论
第五章  策梅洛与弗伦克尔的公理系统
§1引论…………………………………………………………………………………… 185
1.1集论与数学基础(185)  1.2逻辑与记号(186)  1.3抽象公理模式与罗素悖论(187)  1.4其它悖论(190)  1.5公理的预告(192)
§2一般的展开…………………………………………………………………………… 193
2.1序言、公式和定义(193)  2.2外延性公理和分出公理(196)  2.3集合的交,并和差(199)  2.4对偶公理和有序对(203)  2.5抽象定义(205)  2.6联集公理和集合的簇(232)  2.7幂集公理(207)  2.8集合的卡氏积(212)  2.9正规性公理(213)  2.10公理综述(216)
§3关系和函数…………………………………………………………………………… 232
3.1对二元关系的运算(  )  3.2次序关系(  )  3.3等价关系和分类(  )  3.4函数(  )  
第六章  基数与序数
§1等价•有穷集•基数……………………………………………………………………
1.1等价(  )  1.2有限集(  )  1.3基数(  )  1.4有穷基数(  )
§2有穷序数与可数基……………………………………………………………………
2.1序数的定义与一般定义(  )  2.2有穷序数和递归定义(  )  2.3可数集(  )
§3有理数与实数…………………………………………………………………………
3.1引言(  )  3.2分数(  )  3.3非负有理数(  )  3.4有理数(  ) 3.5有理数与柯西序列(  )
3.6实数(  )  3.7具有连续统的势的集合(  )
§4超穷归纳与序数算术…………………………………………………………………
4.1超穷归纳和超穷递归定义(  )  4.2序数算术初步(  )  4.3基数续论与ℵ(  )  4.4良序集(  )  
4.5修订的公理一览表(  )  
§5选择公理………………………………………………………………………………
5.1选择公理的一些应用(  )  5.2选择公理的等价命题(  )  5.3蕴涵选择公理的公理(  )  
第二卷《抽象代数基础》目录(约15万字)
编者的话………………………………………………………………………………………Ⅰ
第一章   群论
§1带有运算的集合………………………………………………………………………… 1
   1.1代数运算的基本概念(1)  1.2代数系统的特殊元素——单位元•零元(3)  1.3二元运算的一般性质
——结合律•交换律•分配律(4)  1.4逆运算•逆元(8)  1.5代数系统的同构( 9)  1.6代数系统的
同态(11)
§2群的基本概念……………………………………………………………………………13  
2.1群的概念(13)  2.2群的性质•群的第二定义(15)  2.3有限群的另一定义(16)  2.4群元素的阶
(19)
§3变换群•循环群…………………………………………………………………………20
3.1变换群(20)  3.2置换群(24)  3.3循环群(28)
§4子群………………………………………………………………………………………32
4.1群的子集(32)  4.2子群(33)  4.3交集与生成元(35)  4.4生成系(38)  4.5陪集(40)
4.6循环群的子群(45)  4.7直积(46)  4.8一到八阶群的概论(49)  4.9乘积定理(53)
§5正规子群…………………………………………………………………………………54
5.1正规子群•单纯群(54)  5.2商群(58)  5.3共轭类•中心(59)  5.4群的同态(61)  5.5商群
的子群•两个同构定理(64)  5.6正规群列与合成群列(67)  5.7合成群列•可解群(69)  
§6置换群……………………………………………………………………………………73
6.1Sn的共轭类(73)  6.2对换(76)  6.3交代群(78)  6.4置换表示(82)  6.5可迁群•本原群(85)  
第二章  环论•域论
§1 环……………………………………………………………………………………… 88
   1.1环的概念(88)  1.2环的性质(89)  1.3交换律•单位元•零因子•整环(93)  1.4除环•域(96)  
1.5无零因子环的特征(101)  1.6子环•环的同态(103)  1.7理想(105)  1.8商环(108)  1.9理想的代数(110)  1.10商域(112)
§2 整环内的因式分解……………………………………………………………………114
  1.1素元•唯一分解(114)  1.2唯一分解环(117)  1.3主理想环•欧氏环(121)
§3域论……………………………………………………………………………………125
  3.1子域•素域•扩域(125)  3.2添加(127)  3.3单纯域扩张(128)  3.4单纯扩张的存在(130)
3.5域的有限扩张•域的代数扩张(132)  3.6分裂域•正规扩域(133)  3.7单位根(136)  3.8有限域(140)  
3.9可分与不可分扩张(142)  3.10完全域及不完全域•代数扩张的单纯性,本原元素定理(146)
§4有序环和有序域……………………………………………………………………… 148
4.1环和域的有序化(148)  4.2分离性和稠密性(152)
第三章  伽罗瓦理论
§1 伽罗瓦群………………………………………………………………………………154
  1.1伽罗瓦群的概念(154)  1.2伽罗瓦的基本定理(155)  1.3共轭的群•域与域的元素(156)
§2代数方程的根式解问题……………………………………………………………… 157
   2.1分圆域(157)  2.2循环群与纯粹方程(162) 2.3用根式解方程(164) 2.4n次一般方程(166) 2.5
二次、三次与四次方程(168) 2.6圆规与直尺作图(172)  
主要参考文献………………………………………………………………………………175

第三卷《数论原理》目录(约21万字)
编者的话………………………………………………………………………………………Ⅰ
第一章  自然数理论
§1自然数…………………………………………………………………………………… 1
1.1数和数数(1)  1.2自然数及其运算(4)   
§2自然数的序……………………………………………………………………………… 8
2.1最小数原理与数学归纳法(8)  2.2归纳定义•若干个数的和与积(10)  
§3自然数的整除性理论……………………………………………………………………14
3.1自然数的整除性(14)  3.2辗转相除法(16)  3.3素数(17)
§4自然数的公理……………………………………………………………………………19
4.1自然数的公理系统(19)  4.2自然数的运算(20)  4.3关于自然数公理系统的评论(26)
§5记数制度…………………………………………………………………………………30
5.1制度数(30)  5.2研究在制度数上运算的方法•数的比较(32)  5.3加法•减法(35)  5.4乘法•除法
(37)  5.5从一个记数制度换到另一个(40)
第二章  整数环
§1整数的定义………………………………………………………………………………44
1.1算术和代数中的扩张原则(44)  1.2整数环的定义(45)  1.3整数的性质(51)  
§2整数的整除性……………………………………………………………………………54
2.1整数的整除性理论(54)  2.2不可分解的整数(57)  2.3半整环(58)
第三章  有理数域
§1有理数域的定义…………………………………………………………………………61
1.1前言•有理数的定义(61)  1.2有理数域的建立(62)
§2有理数的性质……………………………………………………………………………66
2.1有理数的性质(66)  2.2 n进有理数(70)  2.3 商域(71)
第四章  实数域
§1实数域的第一种定义……………………………………………………………………75
1.1前言•连续的第一种表述(75)  1.2戴德金分割•实数域的定义(78)
§2实数域的戴德金构造……………………………………………………………………82
2.1分割集的序(82)  2.2分割的加法运算(85)  2.3分割加法的逆•减法运算(86)  2.4分割的乘法运算(89)  2.5分割的除法运算(90)  2.6实数集R的密集性与连续性(94)
§3实数域的第二种定义………………………………………………………………… 97
3.1数列的极限•有理数域的不完备性(97)  3.2连续性的第二种表述(106)
§4实数域构造的康托尔方法…………………………………………………………… 108
4.1实数域的定义及其性质(108)  4.2实数域的构造(111)  4.3实数的性质(117)  
§5实数域的公理化定义………………………………………………………………… 125
5.1实数域的公理化定义(125)  5.2两种连续公理的统一(130)  
§6用小数书写实数……………………………………………………………………… 134
6.1基本定理•存在性的证明(134)  6.2唯一性的证明(139)  
§7连分数理论…………………………………………………………………………… 144
7.1引言•连分数的基本概念(144)  7.2渐近分数(147)  7.3无限连分数(150)  7.4以自然数为元素的连分数(153)  7.5以连分数来表示实数(155)  7.6渐近分数作为最佳逼近(158)  7.7二次无理数和循环连分数(163)  7.8连分数的几何解释(165)
第五章  复数域
§1复数…………………………………………………………………………………… 167
1.1引言•复数域的定义(167)  1.2复数域的构造(169)  
§2复数的性质…………………………………………………………………………… 171
2.1复数的三角形式与几何表示法(171)  2.2复数的开方(176)  2.3复数的模•共轭复数(179)  
§3代数(超复数系)……………………………………………………………………… 182
3.1 n维向量和线性相关(182)  3.2代数(超复数系)(189)  3.3代数的例子•四元数(194)  
3.4弗罗贝尼乌斯定理(198)  
§4复数的历史发展……………………………………………………………………… 203
4.1复数的起源(203)  4.2复数的发展(204)  
第六章  代数数
§1代数数与超越数……………………………………………………………………… 207
1.1代数数(207)  1.2超越数的存在(209)
§2任意数域上的代数数………………………………………………………………… 216
2.1任意数域上的代数数的概念及其简单性质(216)  2.2代数扩张(218)  2.3简单代数扩张(220)  
2.4累次的简单代数扩张(225)
参考文献…………………………………………………………………………………… 228
第四卷《代数方程式论》目录(约16万字)
编者的话………………………………………………………………………………………Ⅰ
第一章  方程式解成根式的问题•低次代数方程式的根式解法
§1方程式解成根式的问题•二项方程式……………………………………………………1
1.1方程式解成根式的问题•历史的回顾(1)  1.2二项方程式(6)
§2低次代数方程式的古典解法……………………………………………………………10  
2.1一次、二次方程式(10)  2.2三次方程式(11)  2.3四次方程式(19)  2.4三次方程式的其它解法
(25)  2.5契尔恩豪的变量替换法(26)  2.6五次方程式的布灵–杰拉德正规式(28)
§3用初等方法可解的特殊高次方程………………………………………………………32  
3.1方程左端的因子分解(32)  3.2三项方程(33)  3.3倒数方程(34)
第二章  数域上的多项式及其性质
§1数域上的多项式…………………………………………………………………………38
  1.1数域的基本概念(38)  1.2数域上的多项式(39)  1.3多项式的运算•余数定理(41)  1.4多项式
的除法(44)  1.5多项式的最高公因式(46)  1.6不可约多项式(50)
§2对称多项式………………………………………………………………………………54
2.1多项式的根与系数间的关系(54)  2.2多元多项式(56)  2.3两个预备定理(58)  2.4问题的提出•未
知量的置换(59)  2.5对称多项式•基本定理(61)  
第三章  用根的置换解代数方程•群
§1用根的置换解代数方程…………………………………………………………………66
  1.1拉格朗日的方法•利用根的置换解三次方程式(66) 1.2利用根的置换解四次方程(68)  1.3求解代数
方程式的拉格朗日程序(69)
§2置换的一般概念…………………………………………………………………………72
   2.1排列与对换(72) 2.2置换及其运算(75) 2.3置换的轮换表示(78)
§3群…………………………………………………………………………………………81
   3.1对称性的描述•置换群的基本概念(81)  3.2一般群的基本概念(84)  3.3子群•群的基本性质(85) 3.4根式解方程式的对称性分析(86)
第四章  论四次以上方程式不能解成根式
§1数域的扩张及方程式解成根式问题的另一种提法……………………………………87
   1.1数域的代数扩张(87)  1.2数域的有限扩张(91)  1.3方程式解成根式作为域的代数扩张(97)
§2不可能的第一证明………………………………………………………………………98
  2.1第一个证明的预备(98)  2.2鲁菲尼-阿贝尔定理(106)
§3不可能的第二证明…………………………………………………………………… 110
   3.1第二个证明的预备(110)  3.2克罗内克尔定理(113)

第五章  以群之观点论代数方程式的解法
§1有理函数与置换群…………………………………………………………………… 118
1.1引言•域上方程式的群(118)  1.2伽罗瓦群作为伽罗瓦预解方程式诸根间的置换群(120)  1.3例子(122)  1.4根的有理函数的对称性群(124)  1.5有理函数的共轭值(式)•预解方程式(125)  1.6伽罗
华群的缩减(128)  1.7伽罗瓦群的实际决定法(130)
§2预解方程式与代数方程式的解法…………………………………………………… 131
2.1利用预解方程式解代数方程式(131)  2.2预解方程式均为二项方程式的情形(132)  2.3正规子群•方
程式解为根式的必要条件(134)  2.4可解群•交错群与对称群的结构(135)  2.5预解方程式的群(140)  2.6商群(142)  2.7群的同态(142)
§3分圆方程式的根式解………………………………………………………………… 145
3.1分圆方程式的概念(145)  3.2十一次以下的分圆方程式(148)  3.3分圆方程式的根式可解性(149)   
3.4高斯解法的理论基础(152)  3.5分圆方程式的高斯解法•十七次的分圆方程式(153)  3.6用根式来表
示单位根(156)  
§4循环型方程式•阿贝尔型方程式………………………………………………………157
4.1可迁群(157)  4.2循环方程式(160)  4.3阿贝尔型方程式(163)  4.4循环方程式与不变子群•方
程式解为根式的充分条件(166)  
§5论代数方程式解成二次根式的可能性问题………………………………………… 167
5.1问题的起源(167)  5.2方程式用平方根可解的条件(170)  5.3论三次及四次方程式解成二次根式的可
能性(173)   
§6方程式解成二次根式可能性理论的应用…………………………………………… 176
6.1二倍立方体的问题•三等分角问题(176)  6.2割圆问题(177)  6.3既约情形的讨论(180)  
第六章  抽象的观点•伽罗瓦理论
§1代数方程式的群……………………………………………………………………… 182
1.1同构及其延拓(182)  1.2以同构的观点论伽罗瓦群(184)  1.3正规域的性质•正规扩域(186)
1.4代数方程式的群的性质•伽罗瓦基本定理(188)
§2代数方程式可根式解的充分必要条件……………………………………………… 191
2.1具有循环群的正规扩域•二项方程式与正规子群(191)  2.2伽罗瓦大定理(196)  2.3推广的伽罗瓦大
定理•充分性的证明(198)  2.4必要性的证明(199) 2.5应用(202)
主要参考文献………………………………………………………………………………204

第五卷《多项式理论》目录(约22万字)
编者的话………………………………………………………………………………………Ⅰ
第一章   任意域上的多项式环
§1多项式环………………………………………………………………………………… 1
1.1前言•多项式的基本概念(1)  1.2多项式的相等与运算(2)  1.3未知量x的代数解释(4)  1.4多项式的次数和值(7)
§2一元多项式环内的可除性及其性质……………………………………………………10  
2.1一元多项式环内的可除性(10)  2.2剩余除法的显式表示(14)  2.3多项式的最大公因式(17)  2.4分解多项式为不可约因式(30)
§3多重因式的判定与分离…………………………………………………………………35
3.1多项式的导数(35)  3.2多重因式的判定与分离(41)
§4以线性二项式为除式的除法•多项式的根…………………………………………… 45
4.1多项式的根(45)  4.2韦达公式(52)  4.3推值法(53)
第二章   有理数域上的多项式环
§1整系数多项式的性质•有理根的计算………………………………………………… 58
1.1整系数多项式的性质•整系数多项式在有理数域上可约性与在整数环上可约性的一致性(58)  1.2整系数多项式有理根的特征•有理根的计算(61)  1.3整系数多项式不存在有理根的判定(64)  1.4有理系数方程式的非有理根(66)
§2有理数域上多项式的分解为不可约因子•不可约性判定…………………………… 69
2.1二、三、四次多项式分解为不可约因子的判定(69)  2.2一般多项式分解为不可约因子的判定•克罗内克法则(73)  2.3艾森斯坦因判别法则(73)  2.4佩隆判别法则(77)  2.5 Brow-Graha判别法则(79)
第三章   实数域上的多项式环
§1实数域上的多项式………………………………………………………………………82
1.1引言•实数域上多项式(82)  1.2有实根的实系数方程式(86)
§2根的界限与根的定位法…………………………………………………………………88
2.1引言•根的界限(88)  2.2斯图姆定理(96)  2.3斯图姆定理的几何解释(101)  2.4施图姆-塔斯基定理(105)  2.5关于实根数的其它定理(110)  
§3多项式的判别系统…………………………………………………………………… 119
3.1引言•西尔维斯特矩阵与斯图姆-塔斯基序列的关系(119)  3.2多项式的判别式序列•斯图姆-塔斯基序列变号数的计算(126)  3.3多项式的根的判别系统(131)
§4方程式的数字解法…………………………………………………………………… 133
4.1霍纳法(133)  4.2拉格朗日法(136)  4.3罗巴契夫斯基法(140)
第四章   复数域上的多项式环
§1复数域上的多项式…………………………………………………………………… 148
1.1复数域上任意二次方程式的可解性(148)  1.2根的存在定理(149) 1.3代数基本定理(156)  1.4代数基本定理的第二个证明(160)
§2儒歇-霍维茨定理………………………………………………………………………169
2.1儒歇-霍维茨多项式(169)  2.2儒歇-霍维茨定理(173)
§3复系数多项式的根的分布以及对系数的依赖关系………………………………… 175
3.1复系数多项式的根的分布(175)  3.2多项式的根对系数的依赖关系(177)  3.3病态方程式(181)
第五章   含多个未知量的多项式
§1含多个未知量的多项式……………………………………………………………… 184
1.1含多个未知量的多项式的基本概念(184)  1.2多元多项式各项的字典排法(190)  1.3多个未知量的多项式的值(191)
§2含多个未知量的多项式的可除性理论……………………………………………… 193
2.1多个未知量的多项式的可除性(193)  2.2多项式的最大公因式(197)  2.3多元多项式可约性的判定(201)
§3商域…………………………………………………………………………………… 205
3.1多项式环的商域(205)  3.2商作为函数(211)  3.3分解有理分式为简分式(213)
§4对称多项式…………………………………………………………………………… 217
4.1对称多项式(217)  4.2对称多项式的补充注解(223)  4.3对称有理分式(224)  4.4等次的和(225)   4.5对两组未知量对称的多项式(227)  4.6对称多项式在初等代数中的应用(229)
§5消去法理论…………………………………………………………………………… 234
5.1结式(234)  5.2结式的行列式表现法(238)  5.3未知量的消去法(244)  5.4判别式(246)  
5.5子结式与公因式(248)
文献…………………………………………………………………………………………259编辑手记……………………………………………………………………………………266
第六卷《线性代数原理》目录(约32万字)
编者的话………………………………………………………………………………………Ⅰ
第一部分  线性代数的解析理论
第一章  线性方程组理论•行列式理论
§1线性方程组理论………………………………………………………………………… 1
1.1线性方程组的基本概念(1)  1.2线性方程组的解法•高斯消去法(3) 1.3线性方程组相容
性与有定性的判定(第一种表述)(6)  1.4分离系数•矩阵消元法(7)  1.5病态方程组(11)  
§2行列式的概念……………………………………………………………………………12  
2.1低阶行列式(12)  2.2辅助多项式(13)  2.3任意阶行列式的定义(15)
§3行列式的展开与变换……………………………………………………………………20
3.1行列式的变换与性质(20)  3.2行列式的展开法则•行列式的列与列之间的线性关系(26)  3.3正方形方程组的解法•一般线性方程组的通解(33)
§4行列式的计算……………………………………………………………………………36
4.1行列式计算的两类方法(36)  4.2三角形行列式(37)  4.3杂例(39)  4.4范德蒙行列式(42)  4.5拉普拉斯定理•行列式的乘法规则(45)  4.6伴随行列式(51)
第二章  矩阵的理论基础
§1矩阵及其运算……………………………………………………………………………53
1.1矩阵的加法与减法(53)  1.2矩阵的乘法•矩阵的转置(56)
§2方阵………………………………………………………………………………………59
2.1方阵的基本概念(59)  2.2方阵的幂(62)  2.3除法问题•方阵的逆(64)
§3矩阵的子式与秩…………………………………………………………………………67
3.1矩阵的子式•比内特-柯西公式(67) 3.2矩阵的秩•矩阵的初等变换(72) 3.3初等矩阵•置换矩阵(79)  3.4行(列)满秩矩阵•西尔维斯特不等式与弗罗贝尼乌斯不等式(90)
§4正方形方程组的高斯消去法……………………………………………………………94
4.1正方形方程组的高斯消去法(94)  4.2高斯消元过程的基本公式•行列式的西尔威斯特恒等式(98) 4.3方阵对三角形因子的分解式(100)  4.4两个附注(106) 4.5高斯消元过程的力学解释(109)
§5矩阵的分块…………………………………………………………………………… 111
5.1矩阵的分块•分块矩阵的运算方法(111) 5.2正方矩阵的分块(115) 5.3分块矩阵的初等变换•非奇异矩阵求逆的降阶定理(118)  5.4最简单的矩阵方程•分块矩阵的对角化(132) 5.5
分块矩阵的行列式•行列式的两个降阶定理(127)  5.6矩阵秩的两个降阶定理(130)
第三章  矩阵的特征多项式与最小多项式
§1矩阵多项式及其运算………………………………………………………………… 136
1.1矩阵多项式的加法(136)  1.2矩阵多项式的右除与左除•广义贝祖定理(137)  
§2矩阵的特征多项式与最小多项式…………………………………………………… 140
2.1矩阵的特征多项式•伴随矩阵(140)  2.2法捷耶夫-勒维耶算法(143) 2.2矩阵的最小多项式(145)  
第四章  初等因子的解析理论
§1理论的基础:多项式矩阵的等价变换……………………………………………… 149
1.1多项式矩阵的初等变换•多项式矩阵的相抵(149)  1.2λ-矩阵的相抵标准形(152)  1.3多项式矩阵的不变多项式与初等因子•相抵的条件(155)  
§2初等因子的解析理论………………………………………………………………… 161
2.1线性二项式的等价性(161)  2.2矩阵相似的判定(162)  2.3矩阵的标准形(163)
第五章  二次型
§1二次型和它的标准形式……………………………………………………………… 167
1.1二次型和它的变换(167)  1.2二次型的秩数(177)  3.3惯性定律•实二次型的分类(180)  1.4二次型的分解(188)  1.5齐次多项式与齐次函数(189)
§2基于矩阵理论对二次型的研究……………………………………………………… 192
2.1在线性变换下二次型的矩阵的变换•化二次型为标准形式的初等变换法(192)  2.2化二次型为标准形式的雅可比的方法(195)  
第二部分  线性代数的几何理论
第六章  线性方程组的几何理论
§1线性方程组理论……………………………………………………………………… 198
1.1二元一次线性方程组及其解的几何解释(198)  1.2数向量及其运算(201) 1.3数向量的线
性相关(203)  1.4数向量组的秩(206)  1.5线性方程组相容性与有定性条件的第二种表述(207)  
1.6矩阵的行秩与列秩•向量组的秩的计算(209)  1.7线性方程组相容性与有定性条件的第三种
表述•齐次线性方程组的基础解系(215)
§2行列式的几何理论…………………………………………………………………… 217
2.1二阶和三阶行列式的几何定义(217)  2.2 n维平行多面体的有向体积(220)  2.3行列式作为平行多面体有向体积的表出式(223)  
第七章  抽象的线性空间
§1向量空间……………………………………………………………………………… 226
1.1引论•向量空间的概念(226)  1.2向量运算的最简单的性质(228)  1.3向量组的线性相关
与线性无关(231)  1.4 向量集的线性相关与线性无关(233) 1.5向量组的等价(235)  1.6
极大线性无关组•向量组的秩(237)
§2向量空间的进一步研究……………………………………………………………… 240
2.1空间的基底(240)  2.2坐标•基底变换•坐标变换(241) 2.3向量组秩的计算(244)  
2.4线性空间的同构(245)
§3子空间………………………………………………………………………………… 246
3.1子空间(246)  3.2线性包•线性流形(248) 3.3子空间的交与和(250)  3.4子空间的直接和(253)  3.5商空间(256)  
§4应用…………………………………………………………………………………… 260
4.1若干矩阵秩定理的几何证明(260)  4.2线性方程组的解的集合的几何性质(261)
第八章  线性变换
§1线性变换………………………………………………………………………………265
1.1变换在初等几何学中的意义•线性变换的定义(265)  1.2线性变换的构造•投影变换和平移变换(266)  1.3线性变换的基本运算(269)  1.4单位变换•变换的逆•变换的多项式(271) 1.5线性变换的矩阵表出法(273) 1.6线性变换在不同基下的矩阵之间的关系•相似矩阵(277)  1.7变换的特征多项式•哈密尔顿-凯莱定理(279)  
§2线性变换的几何性质及其代表矩阵的性质…………………………………………281
2.1线性变换的核与值域(281)  2.2降秩与满秩的变换(283)  2.3变换的同构(285)  2.4
变换的矩阵的秩(286)
§3线性映射………………………………………………………………………………287
3.1线性映射(287)  3.2相抵矩阵•线性映射的秩(289)  3.3西尔维斯特不等式与弗罗贝尼乌斯不等式•行(列)满秩矩阵的性质(292)  
第九章  n维线性空间中线性变换的结构•初等因子的几何理论
§1用不变子空间研究线性变换的矩阵表示……………………………………………295
1.1子空间关于线性变换的不变性(295)  1.2空间分解为不变子空间直接和的情形(298)  1.3特征向量与特征值(300)  1.4有限维空间中特征向量与特征值的计算(303)  1.5线性变换可对角化的充分必要条件(305)
§2理论的基础:空间的分解……………………………………………………………307
2.1空间的向量(关于已给予线性变换)的最小多项式(307)  2.2分解为有互质最小多项式的不变子空间的分解式(308)  2.3一个空间对于循环不变子空间的分解式(310)  
§3初等因子的几何理论…………………………………………………………………315
3.1矩阵的标准形(315)  3.2不变多项式(初等因子)(316)  3.3矩阵的若尔当标准形(319)
第十章  (实数域上)具有度量的线性空间
§1欧几里得空间概论…………………………………………………………………… 322
1.1引论(322)  1.2欧几里得空间的定义•基本度量概念(322)  1.3欧式空间的正交基底(327)  
1.4欧式空间的同构(328)
§2欧式空间体积的测度………………………………………………………………… 329
2.1向量线性无关线的格拉姆判定•垂线的问题(329)  2.2格拉姆行列式的几何意义与一些不等式(333)  2.3格拉姆-斯密特正交化的几何解释(337)  2.4不相容的线性方程组与最小二乘方法(340)
§3欧几里得空间中的线性变换………………………………………………………… 342
3.1正交矩阵•线性变换的范数(342)  3.2两类变换•正交变换(345)  3.3两种特殊的正交变换(347)  3.4对称变换(354)  3.5任意线性变换的表为正交变换与对称变换之积(359)
第十一章  二次型函数
§1双线性函数与二次型函数…………………………………………………………… 361
1.1双线性函数的基本概念及其矩阵(361)  1.2二次型函数(275)  1.3二次型函数的标准形式•双线性函数的标准基底(365)  1.4雅可比的求标准基底法(368) 1.5线性变换与双线性函数的关系(370)
§2欧式空间中的二次型函数…………………………………………………………… 372
2.1关于二次型函数的基本定理•正交归一标准基底及其对应的标准形式的唯一性(372)  2.2二次型函数的极值性质(374)  2.3在子空间里的二次型函数(375)  2.4有关二次型函数耦的问题及其解答(379)
主要参考文献………………………………………………………………………………382
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
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