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[转载] 四个数的乘积是完全平方数?

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发表于 2018-9-2 22:13:13 | 显示全部楼层 |阅读模式

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是否存在成等差(公差不为0)的四个自然数,使得四数之积为完全平方数?若存在,请举出一例;若不存在,请给出证明。
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征解人:中国医科大学数学教研室李明。
对第一位解决该问题者奖励人民币100元。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-9-3 04:36:48 | 显示全部楼层
本帖最后由 zeroieme 于 2018-9-3 04:38 编辑

国际标准ISO 31-11:1992《量和单位 第十一部分:物理科学和技术中使用的数学标志与符号》(已被ISO/IEC 80000-2取代)中,从集合论角度规定:符号 N所表示的自然数集是包括正整数和0

中国于1993年制定的强制性国家标准《物理科学和技术中使用的数学符号》(GB 3102.11-93)参照国际标准ISO 31-11规定: N 表示“非负整数集;自然数集”, N = { 0 , 1 , 2 , 3 , … }。

所以.........
0×(1×a)×(2×a)×(3×a)=02

点评

恩恩,准确的说,出题人对自然数的理解有偏差  发表于 2018-9-3 11:30
好吧,就算这是个平凡解,不管它,来找非平凡解吧。  发表于 2018-9-3 08:51
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 楼主| 发表于 2018-9-3 12:45:03 | 显示全部楼层
我目前的进展:

设四个数分别是$a_1=a-d,a_2=a,a_3=a+d,a_4=a+2d$,那么,$(a^2+ad-d^2)^2=c^2+d^4$, 这是一个勾股数。
于是根据勾股数通解得到两种解的形式:
1)$a^2+ad-d^2=m^2+n^2,d^2=m^2-n^2$,进而发现可以继续套用勾股数通解,$m=x^2+y^2$,于是$a^2+ad=2(x^2+y^2)^2,d=2xy$,或者$x^2-y^2$,编程,对$2(x^2+y^2)^2$进行因式分解,... ||||||||或者求解丢番图方程$2x^4+5x^2y^2+2y^4=N^2$
2)$a^2+ad-d^2=m^2+n^2,d^2=2mn$,这种情况下,方差$d$是偶数,而且对称项的乘积$a_1a_4,a_2a_3$分别都是完全平方数.

点评

你这样设置的话,方差就是偶数了  发表于 2018-9-3 17:00
因为不一定是同奇偶  发表于 2018-9-3 16:59
设四个数为 a - 3d, a - d, a + d, a + 3d 会简便一点吗?  发表于 2018-9-3 16:57
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发表于 2018-9-3 14:49:16 | 显示全部楼层

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wayne + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 厉害!怎么找到的

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 楼主| 发表于 2018-9-4 08:04:23 | 显示全部楼层
我是从这个论坛搬运过来的。
http://kuing.orzweb.net/viewthre ... &extra=page%3D1
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发表于 2018-9-8 19:19:15 | 显示全部楼层
本帖最后由 葡萄糖 于 2018-9-8 19:34 编辑
??? 发表于 ????-?-? ??:??
Incidentally, Fermat proposed this problem in a letter to Frenicle in 1640, and later claimed to have a proof, although as usual he never shared it with anyone. Weil says that Euler published (posthumously) a proof in 1780, but “it is somewhat confusedly written, obviously by his assistants, at a time when he was totally blind”. Weil then says a better proof was given by J. Itard in 1973, but provides no description. Dickson's "History of the Theory of Numbers" describes a alleged proof (attributed to Bronwin and Furnass) of this proposition, but the “proof” is incomplete at best.


此网站给出了另一个问题的历史
这个问题可以追溯到费马(可惜,费马依旧没有留下他的证明),欧拉最先证出这个命题:
四个完全平方数不能构成等差数列
https://www.mathpages.com/home/kmath044/kmath044.htm
但是不能认为:“等差数列中不存在四个完全平方数”
实际上等差数列中可以存在四个完全平方数,如\(7^2,13^2,17^2,409,23^2\)
\(13^2-7^2=17^2-13^2=409-17^2=23^2-409=120\)

Leonhard Euler proved, that there is no sequence of four squares in arithmetic progression.
https://en.wikipedia.org/wiki/Congruum
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