四个数的乘积是完全平方数？

wayne

是否存在成等差(公差不为0)的四个自然数，使得四数之积为完全平方数？若存在，请举出一例；若不存在，请给出证明。
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征解人:中国医科大学数学教研室李明。
对第一位解决该问题者奖励人民币100元。

zeroieme

国际标准ISO 31-11:1992《量和单位 第十一部分：物理科学和技术中使用的数学标志与符号》（已被ISO/IEC 80000-2取代）中，从集合论角度规定：符号 N所表示的自然数集是包括正整数和0。

中国于1993年制定的强制性国家标准《物理科学和技术中使用的数学符号》(GB 3102.11-93)参照国际标准ISO 31-11规定： N 表示“非负整数集；自然数集”， N = { 0 , 1 , 2 , 3 , … }。

所以.........
0×(1×a)×(2×a)×(3×a)=0²

wayne

我目前的进展：

设四个数分别是$a_1=a-d,a_2=a,a_3=a+d,a_4=a+2d$，那么，$(a^2+ad-d^2)^2=c^2+d^4$， 这是一个勾股数。
于是根据勾股数通解得到两种解的形式：
1）$a^2+ad-d^2=m^2+n^2,d^2=m^2-n^2$，进而发现可以继续套用勾股数通解，$m=x^2+y^2$，于是$a^2+ad=2(x^2+y^2)^2,d=2xy$,或者$x^2-y^2$,编程，对$2(x^2+y^2)^2$进行因式分解,... ||||||||或者求解丢番图方程$2x^4+5x^2y^2+2y^4=N^2$
2）$a^2+ad-d^2=m^2+n^2,d^2=2mn$，这种情况下，方差$d$是偶数，而且对称项的乘积$a_1a_4,a_2a_3$分别都是完全平方数.

lsr314

无解。见https://www.math.ubc.ca/~bennett/BBGH.pdf

wayne

我是从这个论坛搬运过来的。
http://kuing.orzweb.net/viewthre ... &extra=page%3D1

葡萄糖

？？？ 发表于 ????-?-? ??:??
Incidentally, Fermat proposed this problem in a letter to Frenicle in 1640, and later claimed to have a proof, although as usual he never shared it with anyone. Weil says that Euler published (posthumously) a proof in 1780, but “it is somewhat confusedly written, obviously by his assistants, at a time when he was totally blind”. Weil then says a better proof was given by J. Itard in 1973, but provides no description. Dickson's "History of the Theory of Numbers" describes a alleged proof (attributed to Bronwin and Furnass) of this proposition, but the “proof” is incomplete at best.

此网站给出了另一个问题的历史
这个问题可以追溯到费马（可惜，费马依旧没有留下他的证明），欧拉最先证出这个命题：
四个完全平方数不能构成等差数列
https://www.mathpages.com/home/kmath044/kmath044.htm
但是不能认为：“等差数列中不存在四个完全平方数”
实际上等差数列中可以存在四个完全平方数，如\(7^2,13^2,17^2,409,23^2\)
\(13^2-7^2=17^2-13^2=409-17^2=23^2-409=120\)

Leonhard Euler proved, that there is no sequence of four squares in arithmetic progression.
https://en.wikipedia.org/wiki/Congruum

xiaoshuchong

wayne 发表于 2018-9-3 12:45
我目前的进展：

设四个数分别是$a_1=a-d,a_2=a,a_3=a+d,a_4=a+2d$，那么，$(a^2+ad-d^2)^2=c^2+d^4$，  ...

丢番图方程$U^{2}=2V^{4}+5V^{2}+2$无非平凡解。
令
\[\begin{eqnarray*}
V&=&\frac{3x+y+6}{-3x+y-6}\\U&=&\frac{6x^{3}+15x^{2}-12x-3y^{2}-36}{9x^{2}+x\left(36-6y\right)+y^{2}-12y+36}
\end{eqnarray*}\]
x,y满足椭圆曲线$y^{2}=x^{3}-x^{2}-24x-36$, 其秩为0，仅有三个有理点[[-3, 0], [-2, 0], [6, 0]]。