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[求助] 求证三线共点

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发表于 2018-9-6 15:58:00 | 显示全部楼层 |阅读模式

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四边形ABCD每边上取一点,依次为E、F、G、H,若满足比例乘积为1,如图中(AE/EB)*(BF/FC)*(CG/GD)*(DH/HA)=1,求证:EF、AC、GH三线共点、EH、BD、FG三线共点。(若平行视为交于无限远点)。

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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-9-6 17:10:24 | 显示全部楼层
假设P是直线CA上一点,过P的两条直线分别交四边于E、F、G、H,由梅涅劳斯定理,
AE/BE*BF/FC*CP/PA=1,
CG/GD*DH/HA*AP/PC=1,
两式相乘,即得(AE/EB)*(BF/FC)*(CG/GD)*(DH/HA)=1.
现假设AD上有一点H',满足(AE/EB)*(BF/FC)*(CG/GD)*(DH'/H'A)=1,
可得DH/HA=DH'/H'A,于是H=H'.问题得证。

点评

其实只要设EF交AC于P0,GH交AC于P1,然后用有向线段版本的AE/BE*BF/FC*CP0/P0A=-1,CG/GD*DH/HA*AP1/P1C=-1这两个式子乘起来得到CP0/P0A=CP1/P1A,可以直接得到答案P0=P1吧  发表于 6 天前
此证估计是最简单的方法。  发表于 2018-9-6 19:27
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-9-6 17:19:56 | 显示全部楼层
这个证明方法简单————
1、将四个顶点坐标确定好.
2、用定比的形式,将四边上点的坐标确定好。
3、然后求出“三线共点”的充要条件是“四定比”乘积=1。
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 楼主| 发表于 2018-9-11 19:29:45 | 显示全部楼层
好好学习下!
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