求证三线共点

aimisiyou · 发表于 2018-9-6 15:58:00

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四边形ABCD每边上取一点，依次为E、F、G、H，若满足比例乘积为1，如图中(AE/EB)*(BF/FC)*(CG/GD)*(DH/HA)=1，求证：EF、AC、GH三线共点、EH、BD、FG三线共点。（若平行视为交于无限远点）。

lsr314 · 发表于 2018-9-6 17:10:24

假设P是直线CA上一点，过P的两条直线分别交四边于E、F、G、H，由梅涅劳斯定理，
AE/BE*BF/FC*CP/PA=1,
CG/GD*DH/HA*AP/PC=1,
两式相乘，即得(AE/EB)*(BF/FC)*(CG/GD)*(DH/HA)=1.
现假设AD上有一点H'，满足(AE/EB)*(BF/FC)*(CG/GD)*(DH'/H'A)=1,
可得DH/HA=DH'/H'A,于是H=H'.问题得证。

shufubisheng · 发表于 2018-9-6 17:19:56

这个证明方法简单————
1、将四个顶点坐标确定好.
2、用定比的形式，将四边上点的坐标确定好。
3、然后求出“三线共点”的充要条件是“四定比”乘积=1。

aimisiyou · 发表于 2018-9-11 19:29:45

好好学习下！

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