垂足三角形面积的类比问题

hejoseph

$\triangle ABC$ 所在平面内一点 $P$ 到 $\triangle ABC$ 各边（所在直线）的投影形成的三角形称为点 `P`（关于$\triangle ABC$）的垂足三角形。
设 $\triangle ABC$ 的外心为 $O$，外径为 $R$, 面积为 $S$,  `P` 的垂足三角形的面积为$S_P$, 则\[
S_P=\frac{\left|R^2-OP^2\right|}{4R^2}S
\]Simson 线定理是这个公式的直接推论。
那么对于四面体的垂足四面体又有没有类似的结论？

shufubisheng

最好给出这个公式的证明过程。也许从证明方法中，可以找到关于四面体的垂足四面体类似结论。

hejoseph

这就是那个公式的证明

lsr314

形式上去猜测的话，四面体的6条棱所在的直线上的点，最多只能向另外2个面作垂线，得到的是退化的四面体，体积是0。所以，四面体的情况不会只和到外接球的球心的距离有关，公式里更多地会体现到各条棱或者各个面的距离。

shufubisheng

lsr314 发表于 2018-9-20 11:27
形式上去猜测的话，四面体的6条棱所在的直线上的点，最多只能向另外2个面作垂线，得到的是退化的四面体，体 ...

看来对于四面体的垂足四面体没有类似的结论。

lsr314

到四面体四个面的投影共面的点的轨迹是什么？

lsr314

用x=0,y=0,z=0,x+y+z=1围成的四面体试了一下，P(x,y,z)到这四个面的投影共面的点的轨迹方程是
$x y - x^2 y - x y^2 + x z - x^2 z + y z - y^2 z - x z^2 - y z^2 = 0$
图象分为两个部分，一部分曲面是封闭的（顶点就是四面体的顶点，图像应该在四个顶点都连接，但是Mathematica画出来只在原点连接），另一部分是开口的：

lsr314

正四面体对应的图像应该在四个方向是对称的，但是画出来的图像四个方向不对称，不知道是软件绘图精度的问题，还是计算过程不对。
对应的方程是
$-1152 \sqrt{2} x^2 y-808 \sqrt{3} x^2 z+384 \sqrt{6} x^2-1152 \sqrt{6} x y^2-1104 x y z+1152 \sqrt{2} x y+1152 \sqrt{6} x y-165 \sqrt{6} x z^2-440 \sqrt{3} x z+2424 x z-1152 \sqrt{2} x-1104 \sqrt{3} y^2 z+1104 \sqrt{3} y z+1104 y z+720 \sqrt{3} z^3-1647 \sqrt{2} z^2+549 \sqrt{6} z^2-1104 z=0$
有更好的绘图办法的可以试试画出来看看。代码：

1. -1152 \sqrt{2} x^2 y-808 \sqrt{3} x^2 z+384 \sqrt{6} x^2-1152 \sqrt{6} x y^2-1104 x y z+1152 \sqrt{2} x y+1152 \sqrt{6} x y-165 \sqrt{6} x z^2-440 \sqrt{3} x z+2424 x z-1152 \sqrt{2} x-1104 \sqrt{3} y^2 z+1104 \sqrt{3} y z+1104 y z+720 \sqrt{3} z^3-1647 \sqrt{2} z^2+549 \sqrt{6} z^2-1104 z=0

复制代码

hejoseph

垂足四面体的体积用二面角去算还是很容易得到的。我也觉得不会只跟外心距离有简单的函数关系，以前我做过这个：关于四面体的等角面（ 平面 α、β 过二面角 A-a-B 的棱 a，且关于二面角 A-a-B 的平分平面对称，则称 β 是 α 关于二面角 A-a-B 的等角面或 α 是 β 关于二面角 A-a-B 的等角面。）交线平行的点的轨迹是一个三次曲面，而对于三角形等角线平行的点的轨迹是三角形的外接圆，由此可猜测那个体积问题也一般不是简单关系。