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[原创] 求解不定方程 x^2 + k = u^2 + v^2

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发表于 2018-10-1 19:58:35 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 王守恩 于 2018-10-2 04:58 编辑

一般地 , k 是任意数(由a,b确定),

不定方程 x^2 + k = u^2 + v^2,可以有:

\(\left(\frac{0.5n^2+an+b^2}{b}\right)^2+\left(a^2-b^2\right)=\left(\frac{0.5n^2+an}{b}\right)^2+\left(n+a\right)^2\)

从简单的说起 , k=3(a=2,b=1),

不定方程 x^2 + 3 = u^2 + v^2,可以有:

\(\left(0.5n^2+2n+1\right)^2+3=\left(0.5n^2+2n\right)^2+\left(n+2\right)^2\)
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-10-1 21:12:50 | 显示全部楼层
什么是未知数?何谓“不定方程”?
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 楼主| 发表于 2018-10-2 15:50:17 | 显示全部楼层

求解不定方程 x^2 + k = u^2 + v^2

本帖最后由 王守恩 于 2018-10-2 20:32 编辑

1,一般地 , k 是任意数(由 a,b 确定),
    不定方程 x^2 + k = u^2 + v^2,可以有通解公式:
\(\left(\frac{0.5n^2+an+b^2}{b}\right)^2+\left(a^2−b^2\right)\equiv\left(\frac{0.5n^2+an}{b}\right)^2+\left(n+a\right)^2\)
2,一般地 , k 是任意数(由 a,b 确定),
    不定方程 x^2 + k = u^2 + v^3,可以有通解公式:
\(\left(\frac{0.5n^3+1.5an^2+1.5a^2n+b^2}{b}\right)^2+\left(a^3−b^2\right)\equiv\left(\frac{0.5n^3+1.5an^2+1.5a^2n}{b}\right)^2+\left(n+a\right)^3\)
3,一般地 , k 是任意数(由 a,b 确定),
    不定方程 x^2 + k = u^2 + v^4,可以有通解公式:
\(\left(\frac{0.5n^4+2an^3+3a^2n^2+2a^3n+b^2}{b}\right)^2+\left(a^4−b^2\right)\equiv\left(\frac{0.5n^4+2an^3+3a^2n^2+2a^3n}{b}\right)^2+\left(n+a\right)^4\)
4,一般地 , k 是任意数(由 a,b 确定),
    不定方程 x^2 + k = u^2 + v^5,可以有通解公式:
\(\left(\frac{0.5n^5+2.5an^4+5a^2n^3+5a^3n^2+2.5a^4n+b^2}{b}\right)^2+\left(a^5−b^2\right)\equiv\left(\frac{0.5n^5+2.5an^4+5a^2n^3+5a^3n^2+2.5a^4n}{b}\right)^2+\left(n+a\right)^5\)
5,一般地 , k 是任意数(由 a,b 确定),
    不定方程 x^2 + k = u^2 + v^6,可以有通解公式:
\(\left(\frac{0.5n^6+3an^5+7.5a^2n^4+10a^3n^3+7.5a^4n^2+3a^5n+b^2}{b}\right)^2+\left(a^6−b^2\right)\equiv\left(\frac{0.5n^6+3an^5+7.5a^2n^4+10a^3n^3+7.5a^4n^2+3a^5n}{b}\right)^2+\left(n+a\right)^6\)
6,一般地 , k 是任意数(由 a,b 确定),
    不定方程 x^2 + k = u^2 + v^7,可以有通解公式:
\(\left(\frac{0.5n^7+3.5an^6+10.5a^2n^5+17.5a^3n^4+17.5a^4n^3+10.5a^5n^2+3.5a^6n+b^2}{b}\right)^2+\left(a^7−b^2\right)\equiv\left(\frac{0.5n^7+3.5an^6+10.5a^2n^5+17.5a^3n^4+17.5a^4n^3+10.5a^5n^2+3.5a^6n}{b}\right)^2+\left(n+a\right)^7\)
7,一般地 , k 是任意数(由 a,b 确定),
    不定方程 x^2 + k = u^2 + v^8,可以有通解公式:
\(\left(\frac{0.5n^8+4an^7+14a^2n^6+28a^3n^5+35a^4n^4+28a^5n^3+14a^6n^2+4a^7n+b^2}{b}\right)^2+\left(a^8−b^2\right)\equiv\left(\frac{0.5n^8+4an^7+14a^2n^6+28a^3n^5+35a^4n^4+28a^5n^3+14a^6n^2+4a^7n}{b}\right)^2+\left(n+a\right)^8\)
8,一般地 , k 是任意数(由 a,b 确定),
    不定方程 x^2 + k = u^2 + v^9,可以有通解公式:
\(\left(\frac{0.5n^9+4.5an^8+18a^2n^7+42a^3n^6+63a^4n^5+63a^5n^4+42a^6n^3+18a^7n^2+4.5a^8n+b^2}{b}\right)^2+\left(a^9−b^2\right)\equiv\left(\frac{0.5n^9+4.5an^8+18a^2n^7+42a^3n^6+63a^4n^5+63a^5n^4+42a^6n^3+18a^7n^2+4.5a^8n}{b}\right)^2+\left(n+a\right)^9\)

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发表于 2018-10-2 19:39:56 | 显示全部楼层
如果不是通解,即可以覆盖所有的解的情况,
则这些都是些特解,没啥价值。
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 楼主| 发表于 2018-10-3 07:13:02 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2018-10-3 07:16 编辑
gxqcn 发表于 2018-10-2 19:39
如果不是通解,即可以覆盖所有的解的情况,
则这些都是些特解,没啥价值。

从简单的说起 , k=3(a=2,b=1),
不定方程 x^2 + 3 = u^2 + v^2,可以有:
\((0.5n^2+2n+1)^2+3=(0.5n^2+2n)^2+(n+2)^2\)
\(n=00,001^2+3=000^2+02^2\)
\(n=02,007^2+3=006^2+04^2\)
\(n=04,017^2+3=016^2+06^2\)
\(n=06,031^2+3=030^2+08^2\)
\(n=08,049^2+3=048^2+10^2\)
\(n=10,071^2+3=070^2+12^2\)
\(n=12,097^2+3=096^2+14^2\)
\(n=14,127^2+3=126^2+16^2\)
\(n=16,161^2+3=160^2+18^2\)
\(n=18,199^2+3=198^2+20^2\)
\(n=20,241^2+3=240^2+22^2\)
\(n=22,287^2+3=286^2+24^2\)
\(n=24,337^2+3=336^2+26^2\)
\(n=26,391^2+3=390^2+28^2\)
\(n=28,449^2+3=448^2+30^2\)
\(n=30,511^2+3=510^2+32^2\)
\(n=32,577^2+3=576^2+34^2\)
\(n=34,647^2+3=646^2+36^2\)
\(n=36,721^2+3=720^2+38^2\)
\(n=38,799^2+3=798^2+40^2\)
\(n=40,881^2+3=880^2+42^2\)
\(n=42,967^2+3=966^2+44^2\)
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发表于 2018-10-3 08:40:54 | 显示全部楼层
麻烦以后少用列举法,如果这样有用,哥德巴赫猜想也就不用“证明”了。
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发表于 2018-10-3 09:40:35 | 显示全部楼层
$x^2-v^2=u^2-k$
也就是只要取u使得$u^2-k$是奇数或者4的倍数,就可以有解,显然对于任意的k这样的u可以有无穷个选择

点评

谢谢mathe!我缺的就是这一块。谢谢 “数学研发论坛” 众多宝贵的题库与精彩的解答!使人爱不释手。  发表于 2018-10-3 19:04
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 楼主| 发表于 2018-10-5 20:27:14 | 显示全部楼层
若\(\ n,r_1,r_2\ \)都是正整数,可以有下面的恒等式(两个高次方数的差可以用两个二次方数的差来表示):

\(\left(\ 2n\ \right)^{(r_1+r_2)}-\left(\ 2n\ \right)^{r_1}=\left(\ 2^{(r_1-2)}*n^{r_1}+(2n)^{r_2}-1\ \right)^{2}-\left(\ 2^{(r_1-2)}*n^{r_1}-(2n)^{r_2}+1\ \right)^{2}\)

譬如:\(894^{576}-894^{357}=(2^{355}*447^{357}+894^{219}-1)^2-(2^{355}*447^{357}-894^{219}+1)^2\)
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