抢金币游戏

lsr314

一伙强盗抢劫了一批金币。为了分配，他们决定这N个强盗依次选择一个0到1之间的实数，。最终的分配方案是，先将n个实数排序成$x_1<x_2<...<x_n$，选择$x_1$的强盗可以获得相应比例的金币，选择$x_{i+1}$的强盗可以获得$x_{i+1}-x_i$份。那么第一个强盗会如何选择获得最多的金币（按比例计算）？

假设N=1,那么他将得到所有的金币（选择1）。
假设N=2，那么他将得到大约一半的金币（第一个强盗选择略微小于$1/2$，第二个强盗必然选择1）。
N≥3的情况将会如何？是否所有的强盗最终都会得到大约1/N的金币？

mathe

N为三的情况一号强盗及其不乐观，二号保证不少于$1/3$但可以轻松陷害一号。三号不少于$1/3$。当一号选择小于等于$2/3$，二号选择1.而一号选择$x>2/3$,二号可以选择略小于$x/2$

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首先第N个强盗至少可以收到1/N的金币（如果无人选取(1-1/N,1]这个区间的金币可以直接选1）
如果有人选了，那么这个问题就变成了N-1个强盗分(N-1/N)份金币的问题
递归下去就可以得知N号强盗得分最多
然后显然N-1号得分不可能高于N号（可以相等但不可能高于，因为如果N-1号的盈利更高，N号总可以选择一个略小于N-1号的数值让N-1号血本无归的同时获取一个大于自己原先收益的收益（毕竟实数稠密））

然后，我们得到结论，如果没有合作，那么1号的得分是最少的，所以1号会选择x=1/N保底。
如果按理性人假设，第i个人会选择x=i/N，因为否则的话自己的小钱钱会被抢干净

话说我可能没理解清楚大家是怎么圈钱的……
如果只有一个强盗而这个强盗选了0.5
他会得到全部的金币还是只能得到0.5份金币？