一个好看的不等式

.·.·.

做题的时候发现的
并不难
只是因为好看
就发过来了
或许之前有人发过吧。

说$0\le X_{(1)}\leX_{(2)}\le...\leX_{(n)}$是一串不全为0的（“iid服从log-normal分布的随机变量”划掉）序列，$k\ge1$，试证明
$$\frac{\sum_{i=1}^n(2i-n-1)x_{(i)}^k}{\sum_{i=1}^n(2i-n-1)x_{(i)}}\ge\frac{n \sum_{i=1}^nx_{(i)}^k}{n \sum_{i=1}^nx_{(i)}},$$

其实就是我想证明“log-normal的样本gini系数的期望会随log-normal的log-标准差的增加而增加”的时候严格化了一步。
而对log-normal分布X，$X^k$也是log-normal分布且，log-标准差比乘方之前扩大了k倍

做法很简单，就是暴力展开然后合并同类项
如果看到(i-j)基本上这个题就没问题了。

（虽然题目简单，但是架不住这个不等式好看啊……）