一个分数数列的极限值

KeyTo9_Fans

KeyTo9_Fans用分数盖楼时，发现以下分数数列的极限值是$\sqrt(2)/2$：

1, 1/2, (1/2)/(3/4), ((1/2)/(3/4))/((5/6)/(7/8)), (((1/2)/(3/4))/((5/6)/(7/8)))/(((9/10)/(11/12))/((13/14)/(15/16))), ......

这个结论如何证明？

#####

遗憾的是，KeyTo9_Fans并不是第一个发现这个结论的人。

《在线整数数列百科大全》在去年8月就已经收录了这个数列：

http://oeis.org/A290637

在“COMMENTS”一栏里醒目地标明了这一结论：

COMMENTS:        The sequence of fractions f(n) tends to 1/sqrt(2).

并且在“REFERENCES”一栏里指出这是《Mathematica GuideBook》的第二章、第33页中的一道练习题：

REFERENCES:        Michael Trott, Exercises of The Mathematica GuideBook for Numerics, Chapter 2, p. 33.

hujunhua

$\frac{1*4*6*7*10*11*13*16*18*19*21*24*25*28*30*31*34*35*37*40*41*44*46*47*49*52*54*55*58*59*61*64}{2*3*5*8*09*12*14*15*17*20*22*23*26*27*29*32*33*36*38*39*42*43*45*48*50*51*53*56*57*60*62*63}$

如果 `a` 与 `b` 被分数线分隔，就记为`(a/b)`。相关两数分居分数线上下的两条规律：
1）`a\le2^n\to (a/a+2^n)`.
2）`(a/2a)`.

于是，可以通过以下算法判断一个数 `a` 是在分子中还是在分母中：
将 `a`化成二进制表示，记它的`1`的个数为 `y`,尾`0`个数为 `z`,  则`y+z`为奇数，`a`就属于分子，`y+z`为偶数，`a`就属于分母。

例如：
`6=110_2,\to y=2,z=1,y+z=3`, 所以 6 在分子中.
`7=111_2,\to y=3,z=0,y+z=3`, 所以 7 在分子中.
`8=1000_2,\to y=1,z=3,y+z=4`, 所以 8 在分母中.
`9=1001_2,\to y=2,z=0,y+z=2`, 所以 9 在分母中.
`10=1010_2,\to y=2,z=1,y+z=3`, 所以 10 在分子中.

hujunhua

上述两条分隔律，第1)条是这个分数塔的构造规则，第2)条是第1)条的推论。证明如下：

用数学归纳法。
` a=1`时，成立 `(1/2)`. 假定`x<a\to(x/2x)`.
将 `a` 化为二进数，设非零最高位为第 `n` 位(个位定义为第 `0` 位), 将去掉最高位所得尾数记为 `b`, 即 `a=b+2^n,b<2^n`
按分隔律 1)，有 `(a/b)` 和 `(2a/2b)`. 又假设有` (b/2b)`, 故 `(a/2a)`. （余略）

lsr314

Thue–Morse sequence

hujunhua

由2#的判别法，易得4#中 `t_n`的一个定义：\[t_n\equiv y(n)\pmod2\]其中 `y(n)` 即2#定义的 `n` 的二进表示中 `1` 的个数。由此定义不难得到4#给出的recurrence relation。

使用 `\D\left(\frac{2n+1}{2n+2}\right)^{\varepsilon_n}`来表示这个分数塔构造项，看起来更为专业，并且事实上于证明也较有利。

mathematica

用mathematica计算这个分数，得到
2516898149438060323785467896583344354131778041516143610917547991145619275116863878090651520764466060766596334788159283631259115033401972958725352211536092554510713338258074776921099028662113602893761406913960730435495826870231689529093742347123455997233620524630989331279212737255020167262074521983716701952399891266429099062839423296528414948321502346916463269705324872320077762269877059119512962751156372950068811135631999891802970560203099602160899594189742919320533719063001253787521730534940264294188587356587646916161677582216466724764898503700742872763319674408521970830700573013466983766799233718756226822062260907605445751954746437345600364182515756362627153246217631882902652158792690990460386264972968462086695735486611571588817453480560533241168355950740791603071840836840073333228028271554631330543765318567169610688870183634304005784357055162755575622665539875753619138190606751780647352994755794093169937459592634102342732645381093870231428481842603878702141354470328998775861257800359146857155497179583874506484817824780372638571553101538252054931745487513109208069547090332351423726607087766218601819216422647411238340171860870366258627965395525026527794593629119895298779425219405240670560069670107992986648598643216718332514835587187008399952560343607278080646891794944487865559390247358529710752380338158788665655197198648458204248896651424703424257815156626704398138128922629152882272569930048053770231304409153703805056632361077977461812022112632720319378158504405813677106895900618757752849173378047843091396919733911906490877150615777177848368825576744522603536943917622461532328196825873733037612051333697154988312878140526072180033008209738077322122683477757527954414633124484425720226616250872985191357961249678450826171935601484441888333413877430977077243217839148773116980215412574370114110225223646970441463695422155039142432681997599626881340403854341419182484706757381187128246678416872394084518013046628073462692732728029953525255738836393013128089089586982354068160147397296453893365960532776552072125887195568122441891213913387251313345064489671456745321067363583341376719222428017234885664699087499147403977070218310940793534086523635353591558163866055770158791145752404734756873192728640348651137367040872086533288011085011279759480214888332191018547086218390218565496998100526200900129059153922943854010839896879091503057525133795705345231749600609269027703180652017367340633174157780395967481513007616547384430508521071701439104701928319712547062851575405360749924862507844950866823215487915528036496875724869062823856527272305472103318860919269734871218877875754589226985893477775663531110649440949133119776360977109572924409527557285711293392745669181578869351832887962198871028590059072884671820551823583775250748948531030712793977133913442407811524330173738638810277786377320764982394703849130549551849987113219860699009620434389180325453794362948376188700995555602136873161393334384072510035890644236257870913243880082608030638249604179983545389231728371153015287414288313498903813947962432386442786470427592274077899841300462401202701491037699798125459244787890577971473998117139998551078820630675881195225736643966901247720594788990527283947969039820258856551768933496733645207190550449810714857412036505750960535299900913523613558992946773305400707571758478520343164304352796766062694051485905035009075967523476867040040870355434328294414213034650898473581793198098153884057608161022977966492784553790033570808721010499542234795010300875447377496913155801852436758476886572488726687869578094838582484005548474990219975087598893084961329954990419544977263890446479182274055159987752473917385352593362844207167156964634893142804752057507310157780004472060378618629509286134303829726443756478136398394812357111203932142688879759704168496079287962525275149357304786525940281949309007138891304277010771927780555574072838250703872308229979692884451451245700102289925458534086049407913883460688959039538792830214041977967682779384718906687338187703427738456108121737002434920360071628022731915231174384930371384979355513523297499573396615074128667066513802797174588780814195851180274317656130400430014064020192743941176845100149015606481322242315562560319671513891171950544491957276655628724044581487258022728435542565788546707435854801269750491383419153159376901863090042739694891781871998720211489489180760261508100640040624854222492700449183433455243277161247048398824023123510365264996997205170077293258623656768277876112049257388124124092693915125793567255433606385821861718287623805334420768879612355368569420928334642513937768521453837669533213484567335845935888185850559811279726173645532687265436325356325939847280426819568014788644958080911549062254132465091445025565716524292306209438584430464671233839605234446305384899201120150262881955369064148619606097114330164282462750569274713990589872824383651407095292948864787848670322618258494249738625503884251729343227194942986929579994813688319368522707847526619083901994263634132210285668985690683898316053128051816971598774909827375296366641059979359948315654419294546909511309605126138326181651251884885831328180348038697055424957796584570626067669004642664003654119837424748405372279397778828337667813155597147774442134833528968729728667269407685207570230254146337466799501317452048159128826102965646492430076275756473080951355119189547829697120055603923732586283619290220670554496171188833820312807634779796775008037478887726545732552878979909442998887751934437591420294497177809062988116686681252263982294204518376447170161761801666631968720197324674635170848819926119841416235063576753669683817230548376929773603729599456671662993961536866200215543842295716938622296183763994118358114436736668941874045030281102813658099347863641058505509584822965364920021585339523869242902827504176370782095302854815023389322405268989666814079405925052674860298981140862255909075208275197948636233214156591981875792156335909997515461114289578169015896936859548973893756975913975088268033858005638778905749221224664002857420984223012849126687545906482401103586697503937045884403939027213779568236581177555346026844685817054377203376543832249865783039627506615173856503934722414673646954660178741178379141404264414713641613129110109442292972971479178385167923583647158422755281159341223451146374115943861967725127009866560905966811478242794815585850768043289022810501859050110672162874468670036331484325552168040472276027243217258312421368906281057325416351034625871224754252906471133260482650483526925414525181978569327959247049735940206368724203534546940944992747304260836816926016430320475449079992944588853244631684943794502115698864791022396476775782397811799565651784970751519279267822449138566168508695438962017119508341581911452905241183629667658925026206394857341460630509527690554809768430737273427907720686839841231887364929686215690894777132037665167783206994709066672105438052650950297193128487967373929733510362318119987040811445560286108675195740615257353700987003497548211700674269509498619739532878337879320663491442016612205876582748394479338536448924392010219082685677155758206771942226731044488069059429485456519082004196434922234110172247219140593974372682524277030094521985749295988029471481388931141323183320320172148903924535218647890174928767768464558297698772010895974655931838835490706574123116859104707502350387176846949108378030477011379040755054312225656917814819823513543181438170744498899653431647907428298557454459600135236019795093954905051975500241095845412646757863300349833248651343414680585336419567222625145287826712018700114352538580094402894897069886925120908336905391778470559078792052012856901709073511394281526572648998726429767382402553551707221095037265633467538074382875115744072968741572639137758475573580958723676927066933166362004335746210386753640306161859157246902397116018081075526355531812001468243450112114946951547069786630454083010505021719587516591043831928149943821623177617000424944190611245685449915931157100929523913021124358921970966389912290295174285151468111470707726642368396731064375050090172055783639915547904366147971203677688454709087112025776315121051178596731469244686729761282858008481160830379950787745482759900070867770870869160898078099592927968842595763790303464263451524507480527839465076295541176234809470350024090533926232353887697817842838595104672262517901310039064092034974090694943330793882626558159757343164710096697509897462059010920336550964770403088990745497473933314463671343193606122111434211394241371411384242744491278796255486414517573215563936735414568528296590475561578885886956913900792194098689908941721896694467811373964334909789244504266053988504138754333385711080194892874074929996479102342488835415972155459725061809851894457231118104995127117570425392172340099652973087517419065662039320431264299937057177934014135355576333351540174305176111699287291525930025179852767246262613328170758871649469353243377013279121726867382007316081439410110759988956996588363832761136878434427352728296436080621236808105859333540958740402589002167878314551100375297446293984869861372941156475461194767959629123021600910008000110621260866351055143989597442805561383753407044509577367459041176081261297809756336722763331537974904738009672003583252411763603216105632847735039867567609053449005572174747501251227719750932650514834696924452888206625924130904760311829678885798900461230999573846541172755212143296508741389656768721895040149993506585401873338160235827008465174647141121468969196344055869463324676869546954832010453342019406380002732080024874718054658217539174664666854957111878964539000036919955872842105998683844853720871463102354653766890714213056121101808973774793612118397166541659695536184579856653592085354032197447861084271616945479366629586203837697354841349499236834060055231843939234129494697895773425435591815545082025584787073320527122290675881583758509638835588470910703465312406876198744659455778851582357622373761889694762613875637013416436608245251965519257981081965491027110208818711939639688728017107038745756892385334603557036066671146032303746455244929038983127878573083764732197069851411109338910036440710688107459915850788740643494996800721784420813872743046782481266205685856861610786190934178309224807123410035526828721041613322981586579829101493722580702900520000458520927124436596542865946505134337735222943004047602976587971077683798396982549071566535425041355634565410619050922425774857751667799455448579958003480784987215864887723885430789341880988230929636153416774798584995465552257271474851009763200250005617277577323964650374911534414066124658941669596558908393921442368587697146034969489221337273252128828062698771277302998059692635536155330187207487133354989905037575112753407296536216773185864465054075495634376620748768962339349392788788620158182232358566814381077327009135417820085428872273073446585211171146165699663497360123503572462848068546283198834880330726747872486248560423998140782515098653635235272317495475671672206131862120654100977776179216745513202257241836987338442020415210695565579007508869490682089992932034184664712189073260299150869463515184250440545021899223176851392446464819146943282448616953854260102340617452814355054981758217384759988539967227525112541630296602473206010552875194392704784168854433037023851315920171003621004771225706125382652578302051858508304196712936225706843450138326907831980183818818862418641137318372880477493289914784069524084002222069819500183867051775847607490311966729020388656953302611675583472173005266375163986418544124664770590144323036656711203668592008749167496628083862425591425123838485936723871356092002942539155954278798627720688639412040699652607495338674604687920411873662220705018938211549633487787915839135526306170437453232817076741703786976350666922670555382855127874707078076253955733308542509984712346003172331307571801096895748971564420589394353434556159059171568167153717945273154403859165043246475109816950717685730389334888382093386902908071781946831177420941705607051871082765262655122465983468830837955042778870236386198424600931089079079935359427758261383911511355230808486877841184809962763529570764357759444529773947205716562078018699435547674671163556701990064193502210254834125738500802630750964050473378531653558499895501773421882126273273358652762429059999355580915751062096346838420158021040149136944147723399256253223273566023555964996145365579490025740975424234810592707922726038896584610033432077819674904298412398062131157309737007500064635085441136262407330735259055621243188398058207650085552938939606757754996290126924345361582054245801492330682934638863716862261487971266416831640412263872854112290051729138852385561827837816401961085108325034165319435213166545950099007005498755392041090862135750554419523051776588066210488720691922959914077473047487305684311307128292309009381045906652369142070802137827510410514270546937740174765582554958075692374952920578794715633126492097160852351742013724369915149394045545016122694026551931671014895161276648512094876314423368485688309919048227757222238652603108134510633726778203616043443471909318416134443643835095008954761833108093643924568078152583098351854407853838364516117448370241864183423090129882236571959841720211221623987852469462378310437777817653884502644856747296804218083519727905275963925586493062610307912305770375225449333486039227649397312603522899299133813265225924459147600035305759158219066053871067005420017515250161396256684307011591580368017657451510967739159983314437231598098413300974353852872802799445789355380159370519129483007351516887497665466046833494567826696079821782534361597063430350061290976943224013242909320232830152816727332268367509590805169753825488811307052592536716215237093615151306373008483502360564051107576277349826683278327004926669193042097840426243438816607152629938016021024736497335630813719938644620948235167156154309279817518593184644732367366998922595010754010263052208278102444674232856562283414965829594439937050762890934630802853893481348959068702079605288798652974590410016521323856449191830169106247480215177347936175551887811775750981642683173399540883423046922444312851081048608768775208797045602096925244597516994139521255952669420328243090640050020205916705153504548406645048492516975083072723292002931243518595906579532436112175202193676799541014104103193245900661494742104829720272295369881373846759398604333713785285283818859491322888549411395031502434543332254363065121373590300358625178979256674824795578437499179081927663687379252171790421872803478640190957823012464794630883556074531324632303617307507968322958846148743366376907617528583928660079794605070048543037946273724583802887011327303334476755425183806998180677416927369480802673026073958244558018008926188046070971420536334601592474894686731591775317835088046285193054068150123995463061806872420665558453295511854560526556070859144901736992471328836931715834374495030603076057791875956048646310332357945787523774566783288370957140257150529288886602761693599485536821544194017082639358522936778516485275822132704721727740766547540542597811028874619249103440384050884121812990571944712834086227293422543103129240930983645051454532282271861619980572140294530321117329781288420179277904662676114378002549104071034347736669440364830636458571459451636307287583631154276390695929956715298543142239926452947911896645378639525515449753474706905700265043444047516166644774031257507012320336576864941030072493536400691668963314909069166499762037366/3559431498047049826764993033782586154223169085432566553176707307938166124616408436154564601391985521144216954326252564294755917529178098571725078104677884847386324397271675569540703605249930838776497837076230108623565216968262158978566292337746177069283725622598258865541458932708347954909593490003360848135654099901725498530519542872026769018249869338317729375126046552665019740573408791369170714664852326267759629295561899098131946310806425324756908193388922307745582004403699892163440065366568761236376952078665474811964280670643805060650264391829233516463490428438742249162208571524332736502670862541923828798716780665640028375654906650329563652810862865156608208809508888243633578630338065753094323162331886559995137278053504722149426451902522113824976699676133491556226794918768843096614207148835818798308705078444121547373798317745475133866160918123215225809932343556376080361509501533103045278959246604110239293405313963827193745181462621768071171826598741949364079330092614225191981785910024617020016734005024552515796325161930552814587405486569723053723969486243353302214531127254871096774432684944545049250270417313484614953264553425757611718287702085060367257373560969920370188796537136887394555327126698926641588749408054567192954633782473832258442171281720475959143206907124865978618171673961182623321519725375158590717507642643237104771589530176403261313121405004095392310445034540429444430104537826876973082408637228252557873558520409541435883843272560346052475360301037562903628127073853074436058759779534099707585693113716650082679823475919287970928531171522033081465864600777417988594277791177948426336882247740612347311169456658347351308831376725737494553362084992158047206316055644215412834797619127834222171560646998288412403677698929171199991541440885957562044106038990509723353273995706587107689896341228472486261475818943935035593162087818669740796639299922977617716594198437243020865342642386098130179946059810281213882725067794777955820011220096122525326164370048584857228484853192895373662514081048976728583323239587829770125414293979428209242507387405112829531286192245368151461779277537834153028397665497653740874565896918937509834716833666770938761016377269486082203297690250421164272623350451925426188730619683137341061639591312215475421394858406298236759868218644954135101627263182467769811655758669257931034662272502981480541660382202364602197608874227950871653030516215710097768731142148025928862655690258725065211490539122371854914073666549319044575027254936625952638662951961597546147128721433529790040356661196947165404937060485698172078974828178018940656430041174592613102971043372712603397780140969645231423349879652246478036798638155272401035231117514863431437870986959131997707067843039368965661819397809059625376885397064249548929514309893540594691941948606456097614545075027037756102481348871505192375602851011987607649480569108522860376556010602048986293535142789106004518654840557971243226227232408169911530020221565107610837599310971891273623481010561995579199761103041062846009096991839843054915841028439750763891917952928808779767924355418118190787574312531999503846233347491000913830034549255519729406676063792391410370077772659745115549804271439506798274342472508387773618166694360581573955510353657184651908669820724038876951691901762693294258179989641350859787506590849255602610517353857396034559522153232428904852432223995145355003454186278331084137073000784814516732522668776276247987608890592981952800241765405182694155681097179584812697155381407752857024816760512300904188503452755289224196456508575224948783333303297229751466159789655684184234701106995828556300013959901959671442770825508226207496260526000111718042474133883568502211107669970728836330698407119172466885012566752635928564170951543829997442922544794705932647351830270503751323851145768858481643482554329062994122421175844087171466207201067543062069267967706896829770960741524881571427394918271316860583031322108054228538026351746492294258653368730054210490158478144098845707681142062811134030652765936112052567284019274498435813967047384469597856651724490942435046483645270432326616630976120821462065959543587010233527921125090179871465509745699279268379577917966245718923364512695438857922138845375543236129240920599459058764125035631306785819902948400737620144848432616074128881451813566801448911529662113862461781243160619652027139109248931326718789355646470633966235820902327509570030398314587365506414685859541307940193136658506071636849721885398008960928929669017468039970331675365101479430288040072083825556027401158406540755454880506300569525479310118471105727433375828018180222600606372079494245289796326504537245513528501909554072887378125780706719855256270024898204783849207664348294312940796119679911604128301698772994527717559480650040735520482820017012322225609378783242631096305557607822597353563884023022535851079365629695036517521657304263732673950533146230640328354500496499581033140749134857858311492713858769873936413466310739987140015075455559840185638424557465472590693157306200280465254189504963729326746402959605833803282262468959121650804342698901308899307975812878806022901682162291950981386150852224436539919251493061375141242873785324550297659328737504959187028303480239844366486109239747918539810228111937493362000866220531450606631665161470547626989105200471296464111871798966762987552809670291735569660305265832981316551558684780333152610694633017097157572383680158802717461356372166049614773450136367060967182230224555449258516314598830905970351869477992136931619978705448269968865835914162038690044552588551902572184634610295643780522176069620042850606781732727734809624114172452604104772785767751978221354645769605548792738445182243977926232102737639720769874383772020355475995589441495617075417262698711671723909205513794619968956267412122879637294458733644379625250484750940105138572842248517000601222330396333061067707720808973209216820039847387340629070809554378752948780954856023825952661204467508253923672289557383389716448066983511946091225299320129266119284196511620393844347344159093584733725052978290797509416570627618455440281223027496163519489045358729919702140080661679105091550851510495000716022369785698240197639817221718623746617409021702562820554485629723353228145207173206061543593514150665955214657454476969595809184676437844740108040822333456416985661737561175819094783481219678731721212031807877081100686651266808125844819713844546791643512637160993420037224755354876359065904019671172462809388789445135384349403744288351212864415041538492663583764790208615046179651021051131536574999373445241872944678678624663432845279866241941542333868171962559507060613205189916205843157586696653154677581638167241956267248995046549609442900078310244105428057681060602737930683214392941555695339567457380729495070838363913602012665873609445890070261539491354186532782755201061474386442054562626468289432699584999871023460183925246575060817822833648082683389619241829844855834023247340763273888208850428421029190521281644028314057779748468075360184098942302156311438514185411660846543405444070250657033753706807038433006263537118788068614074683289422275791699976094307279012113691802086715320450303848851201412691452177054513268695122790909180116210940453724695673009985537476566902632932556503569422883751716663121025055957365600313868184405586123511494772779472899605451255355800432072320374460472526830588261421150048971882084850677537338915963508225527720951565778926510113026692708712406014245084613286719777022246470222054722223667120871880795967113333771559550030765696223619705409681638307828335924358566516274389340209311553637104230029368459886043697461305013230174679593470268319903196458118884460117201302106652353140513856036041507706642697569339880115653451650908290892810734296087902018222217485790772766970786259412122644133565163357277326606139675055064300705931890784470489428092788834034686612119774938407370181225648874773648601710343351915010924600947113913685677787858563305621636673360564109532772401189362233680614407371371503281633148170259095930899104580640998597732907907230295525954047228027512439707088805577697143353633999613767726350326808018695555727073532965004930700921439817047470827445112870683889452704590888288231684183216081332638198422471824077892210961196311752953779904642605232306693821079077095248406075232146092749352836681785313596646707717730362584474658713965585221454389487796902024440648298607047924837326933458316212311284035841666396739828023380137353287178957664267354402328949169456187110541493019636218237528005878990878883228399792249241183889371908510421202458708765047824386718925517488623084299974749005094841227649984875014990668011909479466348535393523041206588645291773913580229183418411944013611091258652859266299598382527922830383464428903199728339166360422334669729508700793022455995736099797672880847290875383792986213267472821188680122602812821746925571051953522831766290050595809909207861207103244767835046829470789532060234009708865992456343084892088541476904192011310897742570213687139450083343888355658340483791428659387888937513977020419857335898613208853574439343809640308266795803467644600420933330902851903164355403408470153353297443494732227707605568946268952432431509124932823250894024518045709125501325688877653277046208188572366073465716163319687785042152000406565702508415588343352178279575569158920315311512009661560237669241031810594794328343538897168286867907584938867303142992791448286802545592976834800740217980991085052799911749872741788418006500485184855619117109339388140241002644170004912119758972949776476542145514746608941404558764690327019292578576486041925517587211182794247884913813443849222992091477121040899582998621430268080940655305443412045677328781390101251767234080778505004696474078644416023277881184600823440252091958766806757490731128582308023225406834416814518443419999075158492184065626197931690648459949256713475438675739242908569828552345884318243195216065846908407790011218942391717954232622420091417555449717988854922324807296148339458769986044940954415870101901305937692657407951364435788791752732023028245206991295803149808292196548964401676470411309851266154418972958619132749968751754649391787012417205869290447759119268567814199244303985482927270834165422880075022877762226353804607256697735998730665279497790173748244320206768666084383539070324686950496693158870396398591697304778160828161656880864872849618943116561487840036364555856029603308615312087150782618768853460774934363535411354145154758166171792801505142158673733665019922141950840127271988471953585602886310013470601853141693611141135726978175436486846829834858872158838827527838274498006895649577051077777355732946789787841630442653567887723058143373638140464555825365871105360206622748029031574550115645234313319885585046280659825411799032173321077872618673413692079787144803344990021413799279399236913882292045373988864456244240740441893511066004962791774567090313984962055085987923729268046781959942753375834090640091651631815427947223091437532754815623532065284655515732306195128129239640629077367710003802849011513113740804598098677762973678566146167506204456143709416053335874363044188549736896635115547732237104523219847702581426803357210872776099705419920819590531229451984324728526038704972577970579477115775826942957528293895361383312558325059284449856247407143816274417362100527669670946813080316683526097651138467547336991141415987912551763099595164740226647045075523728840770514695149402476259149019777553622504243184618367842364565690427503199404405776645103586250604270941755456267782753337314409834450998859735645183547165754301023099406087129502333812049359515077836594489685182241163729627626612367168973532416457174835914744032361542144322992402350429457938491698717006662001045975959559396230149840781806429983589097122648867202792971021629341420020969520075845897397932188739424122819018090275548606847994501123629172793104326105958198347203558422455241377675162641508673002647779762505660327381152940567954532781750069021417769639149687362696311529459704674786128245858740690608854827397194794371895657312090682040175988391742343411152725634867392434570348573416453210019183158734175007804044472657764710050293295553055070048546163316062258916141877782472467498819182383461040886775329774398841004450304587793662972789392166447381072012559308040371228323800108483287010962269700306616463352095070152535455631601106946343361412318215336034732622055012714029235754962835272144124299456760910864290729259693277697434973703225437102131655502225581817213681692563997032896462238509353188501226284598022904257062219103753746801558009384606085122612433839777382181182760402856910968980112280753726106841750094738366127385888928390178584964025037091295567548795614586235464104262144924384743290301351454624498337415374868438219513801909315833490858544499787435681756730876900628840899243161754550410782088623847251222107606576527663899001330970865395508069749478384021241611235696368168513205379141140232156194665108681805933991652194942199885499780043840549968444923953026978398719022304202584619548251796860659231810093170448422251958629768285651739208686057425856329786169729096029235214667228114921822526988089562612311432926606927139304826771320784806125928312959414484472781596048418499844748008288657150211238978844200296035010732061704039921215156048876549489854950936930118935803204555707574178299979026047564405243358105636706862664560101804645015914639219540547526914697632806130199354141138589899523079148442839206827063414841274269504571936073035244136863484316317150894394340763608732238519575135735997215194764439151569928858676734181571045690410148702320348291321929939201991020766624893219216026100294050328071163849444720650249624550812444131578397880905528002448787265004166556763652067315761399651013656419623375349563507185323749049328881240296052863346421650672578375380777321988547052733546453809071196766188697681037058909669451814089618511030358153085085604749755990026299479297958253665146724176998898472809388803100999616748356590443995315797404044306159861827263508538694318608033932731187849114616291718501149259522619072165957829350600076449457197393654874335989026825946818265322755800092960897602753680530255598622507982980689667581745301161167415751331010704801967290321979404638246706384594472608420761039768483729690550609248392778443129598788249210800840445262555715265402791171349420986542219549457039426493865428058987500184965137619378271280236228286933967323316904827176697535541382920843387256816032250869545609565397768597324135507200596817325958685681469402770570948783036618473248475491598199096380243689669858539395081156020200205998409999574844095208377238369459553720151060813388583358292552098100154536574354043333076602462512542217541089530416908480503959900442157247003397098519229350336667002672173091377670324593075780588789377902725125119472305807035557734063236083810777505091699139399950202507067407543320196822534956313359129864643011408661046457370342326349042311273358512459184908023791120387974603736882040378620527068998361640242853093518708732902651694496517410666174658970066475149536965150310481685623419177690388740207357012396378496089465001666099273640261990932625130325832136293863879112232197163596038690711187580559318610694843810958793215232552424444265483190967163182467283358114679435318829202111003087089747625748576495185756454345441751903055083530204305564126343597308732569217681884765625

然后比较与\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)的大小关系
N[%6 - 1/Sqrt[2], 40]
-8.419387419944729869993604865992682487212*10^-32
作为实验派，我觉得两个值是相等的

mathematica

何必追求所谓的完美的数学证明？
用mathematica数值计算两下不就可以了吗？

lsr314

mathematica 发表于 2018-11-23 13:57
何必追求所谓的完美的数学证明？
用mathematica数值计算两下不就可以了吗？

你用mathematica检验一下，以下等式是否对任意正整数$n$都成立？
$$ \left\lceil \frac{2}{2^{1/n}-1}\right\rceil = \left\lfloor \frac{2n}{\log 2} \right\rfloor $$
（左边是向上取整，右边是向下取整。）

mathe

lsr314 发表于 2018-11-23 17:29
你用mathematica检验一下，以下等式是否对任意正整数$n$都成立？
$$ \left\lceil \frac{2}{2^{1/n}-1}\r ...

2可以改成其它数，也挺有效，也就是比较
\(\left\lceil\frac{2}{a^{\frac1n}-1}\right\rceil\)和\(\left\lfloor\frac{2n}{\log{a}}\right\rfloor\)
其中a越小越有效，比如取\(a=\frac32\),最小n就需要207332239025593762181757171232了

kastin

mathe 发表于 2018-11-24 10:21
2可以改成其它数，也挺有效，也就是比较
\(\left\lceil\frac{2}{a^{\frac1n}-1}\right\rceil\)和\(\le ...

根据指数函数导数的定义可得 `a^x\sim 1+x\ln a\;(x\to 0)`
于是有 `\frac{k}{a^{1/n}-1}=\frac{kn}{\ln a}\;(n\to \oo)`