空间中的椭圆和三正交直线

葡萄糖

Monsky定理：直三面角的三条棱与定圆相交，则它顶点的轨迹是旋转椭球面。
那么，直三面角的三条棱与定椭圆相交，则它顶点的轨迹是？？？？？？

hejoseph

用下面连接中的方法，而且这个问题比链接中的问题简单很多
https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 15600&pid=76325
准线为
\[
\left\{
\begin{aligned}
&ax^2+by^2=1\\
&z=0
\end{aligned}
\right.
\]
顶点为 $\left(x_0,y_0,z_0)$ 的锥面方程为
\[
z_0^2\left(ax^2+by^2\right)+\left(ax_0^2+by_0^2-1\right)z^2-2ax_0z_0xz-2by_0z_0yz+2z_0z-z_0^2=0
\]
由链接中的命题1的结论可得
\[
az_0^2+bz_0^2+\left(ax_0^2+by_0^2-1\right)=0
\]
整理得
\[
ax_0^2+by_0^2+(a+b)z_0^2=1
\]
即所求的直三面角顶点的轨迹方程为
\[
ax^2+by^2+(a+b)z^2=1
\]

葡萄糖

椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$关于顶点$P(X,Y,Z)$的射影锥面
\begin{align*}
Z^2 \left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1\right)+z^2 \left(\frac{X^2}{a^2}+\frac{Y^2}{b^2}-1\right)=2 z Z \left(\frac{x X}{a^2}+\frac{y Y}{b^2}-1\right)
\end{align*}