单调有界函数的连续性

manthanein

定义域为R的函数y=f(x)单调增加，f(0)=0，且y=f(x)在R的任意一个闭区间上都有界，问这个函数是否可以在R的任何一个区间上都不连续？

.·.·.

在R的任何一个区间上都不连续
这句话比较费解
因为更常用的说法是“在某一点连续”，“在某区间连续”指的就是“区间上每一个点都连续”
所以，这个“R的任何一个区间上都不连续”该怎么理解？
以及你提的问题很弱
因为只要把有理数排一个顺序，然后记$f(x)=\sum_{x\le 第i个有理数}1/{i^2}$ (x>0)且设f(x)是一个奇函数
则f(x)任意一个有理数点都不连续（左极限不等于自己）
然而无理数点都是连续的

这样，我们构造了一个，“R的任何一个区间上都存在不连续点”的函数
不知你是不是想干这件事