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[提问] 单调有界函数的连续性

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发表于 2018-11-30 22:58:48 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 manthanein 于 2018-11-30 23:22 编辑

定义域为R的函数y=f(x)单调增加,f(0)=0,且y=f(x)在R的任意一个闭区间上都有界,问这个函数是否可以在R的任何一个区间上都不连续?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-12-1 00:55:31 | 显示全部楼层
在R的任何一个区间上都不连续
这句话比较费解
因为更常用的说法是“在某一点连续”,“在某区间连续”指的就是“区间上每一个点都连续”
所以,这个“R的任何一个区间上都不连续”该怎么理解?
以及你提的问题很弱
因为只要把有理数排一个顺序,然后记$f(x)=\sum_{x\le 第i个有理数}1/{i^2}$ (x>0)且设f(x)是一个奇函数
则f(x)任意一个有理数点都不连续(左极限不等于自己)
然而无理数点都是连续的

这样,我们构造了一个,“R的任何一个区间上都存在不连续”的函数
不知你是不是想干这件事

点评

是的  发表于 2018-12-1 02:55
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
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