数学研发论坛

 找回密码
 欢迎注册
查看: 279|回复: 10

[欣赏] abcd=1

[复制链接]
发表于 2018-12-3 13:00:47 | 显示全部楼层 |阅读模式

马上注册,结交更多好友,享用更多功能,让你轻松玩转社区。

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?欢迎注册

x
本帖最后由 王守恩 于 2018-12-3 20:53 编辑

\(1,已知:ab = 1 \ 求证:\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}=1\)

\(2,已知:abc = 1 \ 求证:\frac{a}{1+a+ab}+\frac{b}{1+b+bc}+\frac{c}{1+c+ca}=1\)

\(3,已知:abcd = 1 \ 求证:\frac{a}{1+a+ab+abc}+\frac{b}{1+b+bc+bcd}+\frac{c}{1+c+cd+cda}+\frac{d}{1+d+da+dab}=1\)

\(4,已知:abcde = 1\ 求证:\frac{a}{1+a+ab+abc+abcd}+\frac{b}{1+b+bc+bcd+bcde}+\frac{c}{1+c+cd+cde+cdea}+\frac{d}{1+d+de+dea+deab}+\frac{e}{1+e+ea+eab+eabc}=1\)

\(5,已知:......................\)

奇了怪了,这题目怎么就倒不回去了,要不我们限制下面的abcd是正数

\(1,已知:\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}=1\ 求证:ab = 1\)

\(2,已知:\frac{a}{1+a+ab}+\frac{b}{1+b+bc}+\frac{c}{1+c+ca}=1\ 求证:abc = 1\)

\(3,已知:\frac{a}{1+a+ab+abc}+\frac{b}{1+b+bc+bcd}+\frac{c}{1+c+cd+cda}+\frac{d}{1+d+da+dab}=1\ 求证:abcd = 1\)

\(4,已知:\frac{a}{1+a+ab+abc+abcd}+\frac{b}{1+b+bc+bcd+bcde}+\frac{c}{1+c+cd+cde+cdea}+\frac{d}{1+d+de+dea+deab}+\frac{e}{1+e+ea+eab+eabc}=1\ 求证:abcde = 1\)

\(5,已知:......................\)

\(6,......................\)





  





毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-12-3 13:26:57 | 显示全部楼层
  1. (*https://bbs.emath.ac.cn/thread-15607-1-1.html*)
  2. b=2;
  3. c=3;
  4. d=5;
  5. (*按照猜想计算出来的a应该是1/(2*3*5)=1/30*)
  6. Solve[a/(1+a)+b/(1+b)==1,{a}]
  7. Solve[a/(1+a+a*b)+b/(1+b+b*c)+c/(1+c+c*a)==1,{a}]
  8. Solve[a/(1+a+a*b+a*b*c)+b/(1+b+b*c+b*c*d)+c/(1+c+c*d+c*d*a)+d/(1+d+d*a+d*a*b)==1,{a}]
复制代码

运算结果
{{a->1/2}}
{{a->1/6},{a->1/6}}
{{a->1/30},{a->1/735 (-437-26 Sqrt[214])},{a->1/735 (-437+26 Sqrt[214])}}
{{a -> 0.0333333}, {a -> -1.11204}, {a -> -0.0770786}}
所以你的猜想不成立!

点评

对不起!mathematica!是我错了!是我没考虑成熟就拿出来了。请您能再增加几项运算结果。  发表于 7 天前
万分感谢mathematica!  发表于 2018-12-3 13:52
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-12-3 20:16:32 | 显示全部楼层
本帖最后由 .·.·. 于 2018-12-3 20:29 编辑

其实这个结论很显然的……
已知
$$\prod_{i=0}^{n-1}x_i=1$$
为了描述方便,以下下标均理解为mod n意义下的下标,即$x_{t+n}=x_t$
同时注意到$\prod_{x=a}^bx_i=\prod_{x=a+n}^bx_i$,于是我们可以将prod的下标以此式扩展到a>b的场景(这样是合理的)
于是问题变成了:
已知
$$\prod_{i=0}^{n-1}x_i=1$$
求证
$$\sum_{j=0}^{n-1}\frac{x_j}{\sum_{i=j}^{j+n-1}\prod_{k=j+1}^ix_k}=1$$

在开始计算之前,我们需要先做一系列的探索:
$$\frac{1}{\sum_{i=j}^{j+n-1}\prod_{k=j+1}^ix_i}=\frac{\prod_{k=j}^{j+n-1}x_i}{\sum_{i=j}^{j+n-1}\prod{k=j+1}^ix_k}$$
注意到分母$\sum_{i=j}^{j+n-1}\prod_{k=j+1}^ix_k=\sum_{i=j}^{j}\prod_{k=j+1}^ix_k+\sum_{i=j+1}^{j+n-1}\prod_{k=j+1}^ix_k=\prod_{k=j+1}^{j+n}x_k+\sum_{i=j+1}^{j+n-1}\prod_{k=j+1}^ix_k=\sum_{i=j+n}^{j+n}\prod_{k=j+1}^{j+n}x_k+\sum_{i=j+1}^{j+n-1}\prod_{k=j+1}^ix_k=\sum_{i=j}^{j+n}\prod_{k=j+1}^ix_k$
分子分母同时约去$x_j$
$$=\frac{\prod_{k=j+1}^{j+n-1}x_k}{\sum_{i=j+1}^{j+n}\prod_{k=j+1}^ix_k}$$
类似地,分子分母同时约去$x_{j+1}$
$$=\frac{\prod_{k=j+2}^{j+n-1}x_k}{\sum_{i=j+2}^{j+n+1}\prod_{k=j+1}^ix_k}$$
。。。。。。
一圈约下来之后把结果求和,我们得到
$$=\frac1n\sum_{l=1}^n\frac{\prod_{k=j+l}^{j+n-1}x_k}{\sum_{i=j+l}^{j+n-1+l}\prod_{k=j+1}^ix_k}$$
做到这一步之后,注意到分母是轮换对称的,而分子总是分母中的某一项,则对
\(\sum_{j=0}^{n-1}\frac{x_j}{\sum_{i=j}^{j+n-1}\prod_{k=j+1}^ix_k}=1\)
应用我们刚刚得到的那个式子,我们可以直接得到结论。
在这里,我们只需要对j求和
$$\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{\sum_{i=j}^{j+n-1}\prod_{k=j+1}^ix_i}=\frac1n\sum_{j=1}^{n}\sum_{l=1}^n\frac{\prod_{k=j+l}^{j+n-1}x_k}{\sum_{i=j+l}^{j+n-1+l}\prod_{k=j+1}^ix_k}$$
(后面的推理是显然的……然而我已经不会写了……不知道有没有什么更简单的表述方式)
就比如,
\(\frac1{1+a+ab+abc+abcd+abcde}=\frac{abcde}{abcde+a+ab+abc+abcd+abcde}=\frac{bcde}{bcde+1+b+bc+bcd+bcde}=\frac{cde}{cde+cdea+1+c+cd+cde}=\frac{de}{de+dea+deab+1+d+de}=\frac{e}{e+ea+eab+eabc+1+e}\)
这几个式子求一个平均,然后求和
分子分母就可以约掉了
最后的结果显然是1
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 7 天前 | 显示全部楼层
.·.·. 发表于 2018-12-3 20:16
其实这个结论很显然的……
已知
$$\prod_{i=0}^{n-1}x_i=1$$

你太冲动了,你没看我的计算结果吗?推导不出乘积等于1,除非对两个数,三个数这种特殊情况

点评

对不起!mathematica!是我错了。  发表于 7 天前
楼主在你发帖后编辑了主题帖,所以你们讨论的已不是同一个问题了。  发表于 7 天前
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 7 天前 | 显示全部楼层
.·.·. 发表于 2018-12-3 20:16
其实这个结论很显然的……
已知
$$\prod_{i=0}^{n-1}x_i=1$$

我是这样想的,真诚请教。
前半部分,以第4题为例。
\(已知:abcde = 1\ 求证:\frac{a}{1+a+ab+abc+abcd}+\frac{b}{1+b+bc+bcd+bcde}+\frac{c}{1+c+cd+cde+cdea}+\frac{d}{1+d+de+dea+deab}+\frac{e}{1+e+ea+eab+eabc}=1\)

\(\frac{a}{1+a+ab+abc+abcd}+\frac{b}{1+b+bc+bcd+bcde}+\frac{c}{1+c+cd+cde+cdea}+\frac{d}{1+d+de+dea+deab}+\frac{e}{1+e+ea+eab+eabc}\)

\(=\frac{a}{abcde+a+ab+abc+abcd}+\frac{b}{1+b+bc+bcd+bcde}+\frac{bc}{b+bc+bcd+bcde+bcdea}+\frac{bcd}{bc+bcd+bcde+bcdea+bcdeab}+\frac{bcde}{bcd+bcde+bcdea+bcdeab+bcdeabc}\)

\(=\frac{1}{bcde+1+b+bc+bcd}+\frac{b}{1+b+bc+bcd+bcde}+\frac{bc}{b+bc+bcd+bcde+1}+\frac{bcd}{bc+bcd+bcde+1+b}+\frac{bcde}{bcd+bcde+1+b+bc}\)

\(=\frac{1+b+bc+bcd+bcde}{1+b+bc+bcd+bcde}=1\)

后半部分,以第4题为例。
\(已知:\frac{a}{1+a+ab+abc+abcd}+\frac{b}{1+b+bc+bcd+bcde}+\frac{c}{1+c+cd+cde+cdea}+\frac{d}{1+d+de+dea+deab}+\frac{e}{1+e+ea+eab+eabc}=1\ 求证:abcde = 1\)

\(1=\frac{1+b+bc+bcd+bcde}{1+b+bc+bcd+bcde}\)

\(=\frac{1}{bcde+1+b+bc+bcd}+\frac{b}{1+b+bc+bcd+bcde}+\frac{bc}{b+bc+bcd+bcde+1}+\frac{bcd}{bc+bcd+bcde+1+b}+\frac{bcde}{bcd+bcde+1+b+bc}\)

\(=\frac{\frac{1}{bcde}}{\frac{bcde+1+b+bc+bcd}{bcde}}+\frac{b}{1+b+bc+bcd+bcde}+\frac{c}{\frac{b+bc+bcd+bcde+1}{b}}+\frac{d}{\frac{bc+bcd+bcde+1+b}{bc}}+\frac{e}{\frac{bcd+bcde+1+b+bc}{bcd}}\)

\(=\frac{\frac{1}{bcde}}{1+\frac{1}{bcde}+\frac{b}{bcde}+\frac{bc}{bcde}+\frac{bcd}{bcde}}+\frac{b}{1+b+bc+bcd+bcde}+\frac{c}{1+c+cd+cde+\frac{cde}{bcde}}+\frac{d}{1+d+de+\frac{de}{bcde}+\frac{deb}{bcde}}+\frac{e}{1+e+\frac{e}{bcde}+\frac{eb}{bcde}+\frac{ebc}{bcde}}\ \ (1)\)

\(=\frac{a}{1+a+ab+abc+abcd}+\frac{b}{1+b+bc+bcd+bcde}+\frac{c}{1+c+cd+cde+cdea}+\frac{d}{1+d+de+dea+deab}+\frac{e}{1+e+ea+eab+eabc}\ \ \ \ \ \ (2)\)

\(比较(1),(2),可知\ \ a=\frac{1}{bcde}\ \ 即:abcde = 1\)


毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 7 天前 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2018-12-4 10:37
我是这样想的,真诚请教。
前半部分,以第4题为例。
\(已知:abcde = 1\ 求证:\frac{a}{1+a+ab+abc+ab ...

后半部分应该是
证明
$$\frac x{1+x+xb+xbc+xbcd}+\frac b{1+b+bc+bcd+bcde}+\frac c{1+c+cd+cde+cdex}+\frac d{1+d+de+dex+dexb}+\frac c{1+e+ex+exb+exbc}=1$$
展开可以发现这是一个四次方程,所以问题可以化成
有四重根或有二重根与两个复数根
或者有两个复数根,另外有一个根使得某个分母为0
或者有三个根使得某个分母为0

感觉后面几种情况都是凑巧才会发生的

点评

谢谢 .·.·. !我来慢慢琢磨。  发表于 7 天前
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册

本版积分规则

小黑屋|手机版|数学研发网 ( 苏ICP备07505100号 )

GMT+8, 2018-12-11 03:16 , Processed in 0.053536 second(s), 18 queries .

Powered by Discuz! X3.4

© 2001-2017 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表