求定积分 ∫(0,π)[1-λe^(2ti)]^(1/2)[1-λe^(-2ti)]^(1/2)dt

笨笨

求定积分 \[\int_0^\pi\left(1-\lambda e^{2t i}\right)^{\frac{1}{2}}\left(1-\lambda e^{-2t i}\right)^{\frac{1}{2}}\dif t\]
其中，\(\lambda\) 为常数，\(i\) 为虚数单位

笨笨

这是结果 \[\sum_{n=0}^{+\infty}\begin{pmatrix}{\frac{1}{2}\\n}\end{pmatrix}^2\lambda^{2n}\]

kastin

因为\[\sin^{2n}x=(\frac{\exp(ix)-\exp(-ix)}{2i})^{2n}=2^{-2n}\left(\pmatrix{2n\\n}+2\sum_{k=1}^{n}(-1)^k\pmatrix{2n\\n-k}\cos(2kx)\right)\]于是
\[f(a)=\int_0^{\pi}\sqrt{1-a\sin^2t}\dif t=\sum_{n=0}^{\oo}(-1)^n\pmatrix{\frac12\\n}a^n\int_0^{\pi}\sin^{2n}t\dif t=\sum_{n=0}^{\oo}(-1)^n\pmatrix{2n\\n}2^{-2n}\pmatrix{\frac12\\n}a^n\pi\]又有\[(-1)^n\pmatrix{2n\\n}2^{-2n}=(-1)^n\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}=-(2n-1)\pmatrix{\frac12\\n}\]故\[f(a)=-\sum_{n=0}^{\oo}(2n-1)\pmatrix{\frac12\\n}^2a^n\pi\]

kastin

原式可化简为\[\int_0^{\pi}\sqrt{\lambda^2-2\lambda\cos2t+1}\dif t=|\lambda-1|f(-\frac{4\lambda}{(\lambda-1)^2})\]然后利用上述级数。不过这只适合 `\lambda\neq 1`，似乎不应该按这个方向来做。

笨笨

λ≠1，还有人吗

kastin

4楼结果形式和2楼结果形式不同是因为它们的收敛区间不一样，4楼结果的收敛区间为 `\lambda \in (-\oo,3-2 \sqrt{2}] \cup [3+2 \sqrt{2},+\oo)`，而2楼结果收敛区间为 `\lambda \in [-1,0)\cup(0,1]`

kastin

既然待求结果收敛域在单位原圆内，可以考虑直接对原式展开\[(1-\lambda\exp(2ti))^{1/2}(1-\lambda\exp(-2ti))^{1/2}=\left(1+\sum_{j=1}^{\oo}(-1)^j\pmatrix{\frac 12\\j}\lambda^j\exp(2tij)\right)\left(1+\sum_{k=1}^{\oo}(-1)^k\pmatrix{\frac 12\\k}\lambda^k\exp(-2tik)\right)=1+\sum_{n=1}^{\oo}a_n(t)\lambda^n\]收敛范围为 `-1\leqslant \lambda \leqslant 1`.
其中\[a_n(t)=(-1)^n\sum_{k=1}^{n-1}\pmatrix{\frac12\\k}\pmatrix{\frac 12\\ n-k}\exp(2ti(2k-n))=(-1)^n\sum_{k=1}^{\lfloor n/2 \rfloor}\pmatrix{\frac12\\k}\pmatrix{\frac 12\\ n-k}\cos((n-2k)2t))\]考虑一致收敛性后有
\[\begin{align*}\int_0^{\pi}1+\sum_{n=1}^{\oo}a_n(t)\lambda^n\dif t&=\pi+\sum_{n=1}^{\oo}\lambda^n\int_0^{\pi}a_n(t)\dif t\\
&=\pi\left(1+\sum_{n=2,4,6,8,\cdots}\pmatrix{\frac12\\ \frac n2}\pmatrix{\frac 12\\ n-\frac n2}\lambda^n\right)\\
&=\pi\left(1+\sum_{m=1}^{\oo}\pmatrix{\frac12\\ m}^2\lambda^{2m}\right)\end{align*}\]上面的结果还可写成 `\sum_{m=0}^{\oo}\pmatrix{\frac12\\ m}^2\lambda^{2m}\pi`，只不过此时因为 `0^0` 没有定义，收敛区间要挖去0，即 `\lambda\in[-1,0)\cup(0,1]`.