如何求出正十二面体的五边形边长与外接球的半径的关系？

mathematica

假设边长=2

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. (*假设正五边形的边长是2*)
   
3. (*正五边形一边上的高*)
   
4. h=FullSimplify[2*Sin[72Degree]+2*Cos[54*Degree]]
   
5. (*正五边形到圆心的距离*)
   
6. b=Sqrt[R^2-1^2]
   
7. (*五边形的高所对应的圆心角,有两个高*)(*五边形的边所对应的圆心角*)
   
8. deg=2*ArcCos[(R^2+b^2-h^2)/(2*R*b)]+ArcCos[(R^2+R^2-2^2)/(2*R*R)]-Pi
   
9. (*画图看根在什么地方*)
   
10. Plot[deg,{R,0,8}]
    
11. (*不知道为什么Solve函数求解不了方程，我只有采用先数值再RootApproximant的办法求解*)
    
12. rr=R/.FindRoot[deg,{R,2.0},WorkingPrecision->900,AccuracyGoal->900,PrecisionGoal->900,MaxIterations->2000]
    
13. Print["R的解析表达式"]
    
14. R=FullSimplify@ToRadicals@RootApproximant@rr
    
15. Print["b的解析表达式"]
    
16. b=FullSimplify@b
    
17. Print["R球体半径是"]
    
18. N[R,100]
    
19. Print["b五边形高的垂足到球心的距离"]
    
20. N[b,100]
    
21. Print["h五边形的高是"]
    
22. N[h,100]
    

复制代码

这儿有表可以查出来关系，但是我想要的是如何自救求解推导出来，
上面的代码列了方程，但是我自己求解不出来。
https://en.wikipedia.org/wiki/Platonic_solid

补充一张图供理解。
用一个平面剖正十二面体（这个平面经过正十二面体的中心），
然后使得两条五边形的棱正好在平面内，
正十二面体与平面的交线正好是个六边形，六边形有四个边是五边形的高，两个边是边长。
如图所示

mathematica

\[\cos ^{-1}\left(\frac{2 R^2-4}{2 R^2}\right)+2 \cos ^{-1}\left(\frac{2 R^2-2 \sqrt{5}-6}{2 R \sqrt{R^2-1}}\right)-\pi=0\]
这个方程，反正我求解不出来，我只会用数值解，然后验算根。
直接用mathematica的Solve函数求解上面的方程，mathematica直接罢工求解不出来。
通过高精度数值解,然后由数值解得到解析解,解的结果是
\(\sqrt{\frac{3}{2} \left(\sqrt{5}+3\right)}=\frac{1}{2} \sqrt{3} \left(\sqrt{5}+1\right)\)
把上面的根带入上面的方程得到

\[-\pi +2 \cos ^{-1}\left(\sqrt{\frac{1}{6} \left(3-\sqrt{5}\right)}\right)+\sec ^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{5}}\right)\]
化简表达式结果就是0
有谁能有别的办法求解出半径出来？

zeroieme

mathematica万岁!
mathematica直接罢工，要求那么高干啥

lsr314

正十二面体_百度百科
https://baike.baidu.com/item/%E6 ... C%E9%9D%A2%E4%BD%93

mathematica

lsr314 发表于 2018-12-19 12:48
正十二面体_百度百科
https://baike.baidu.com/item/%E6%AD%A3%E5%8D%81%E4%BA%8C%E9%9D%A2%E4%BD%93

我要的是如何求解出来，而不是引用别人的结果，结果我自己已经算出来了。并且给出了维基百科上面的结果

mathematica

https://en.wikipedia.org/wiki/Regular_dodecahedron
利用上面的资源，
The orange vertices形成一个正六面体，然后假设顶点坐标分别是`(\pm1,\pm1,\pm1)`，一共是八个，
然后求出五边形的边长是$1/{sin54°}=\sqrt5-1$,而
由正六面体得到外接球的半径是$\sqrt{3}$，所以就能得出两者比例关系，
我还以为必须解方程才能得到外接球的半径呢

hejoseph

设棱长为 $a$，先求出二面角 $\theta$（用三面角第一余弦定理即可）和一个面的内切圆半径 $r_1$，内切球半径 $r$ 为
\[
r=r_1\tan\frac{\theta}{2}
\]
棱球（与各棱都相切的球）半径 $\rho$ 为
\[
\rho=r_1\sec\frac{\theta}{2}
\]
由此就能得外接球半径 $R$ 为
\[
R=\sqrt{\rho^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2}
\]

mathematica

hejoseph 发表于 2018-12-19 14:29
设棱长为 $a$，先求出二面角 $\theta$（用三面角第一余弦定理即可）和一个面的内切圆半径 $r_1$，内切球半 ...

现在明白你的意思了,你的办法也很不错,比我的办法好,不过没维基百科上的办法好

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. a=1;(*假设a=1,不妨碍计算,但是有利于软件计算*)
   
3. r1=FullSimplify[a/2*Tan[54Degree]]
   
4. cos=FullSimplify[(Cos[108Degree]-Cos[108Degree]^2)/Sin[108Degree]^2]
   
5. cos2=FullSimplify[Sqrt[(1+cos)/2]]
   
6. rou=FullSimplify[r1/cos2]
   
7. R=FullSimplify@Sqrt[rou^2+(a/2)^2]
   

复制代码

运行结果

$\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{2 \sqrt{5}}}$
$-\frac{1}{\sqrt{5}}$
$\text{Root}\left[5 \text{$\#$1}^4-5 \text{$\#$1}^2+1\&,3\right]$
$\frac{1}{4} \left(\sqrt{5}+3\right)$
$\frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{2} \left(\sqrt{5}+3\right)}$