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[求助] 如何求出正十二面体的五边形边长与外接球的半径的关系?

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发表于 2018-12-19 11:07:33 | 显示全部楼层 |阅读模式

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假设边长=2
  1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
  2. (*假设正五边形的边长是2*)
  3. (*正五边形一边上的高*)
  4. h=FullSimplify[2*Sin[72Degree]+2*Cos[54*Degree]]
  5. (*正五边形到圆心的距离*)
  6. b=Sqrt[R^2-1^2]
  7. (*五边形的高所对应的圆心角,有两个高*)(*五边形的边所对应的圆心角*)
  8. deg=2*ArcCos[(R^2+b^2-h^2)/(2*R*b)]+ArcCos[(R^2+R^2-2^2)/(2*R*R)]-Pi
  9. (*画图看根在什么地方*)
  10. Plot[deg,{R,0,8}]
  11. (*不知道为什么Solve函数求解不了方程,我只有采用先数值再RootApproximant的办法求解*)
  12. rr=R/.FindRoot[deg,{R,2.0},WorkingPrecision->900,AccuracyGoal->900,PrecisionGoal->900,MaxIterations->2000]
  13. Print["R的解析表达式"]
  14. R=FullSimplify@ToRadicals@RootApproximant@rr
  15. Print["b的解析表达式"]
  16. b=FullSimplify@b
  17. Print["R球体半径是"]
  18. N[R,100]
  19. Print["b五边形高的垂足到球心的距离"]
  20. N[b,100]
  21. Print["h五边形的高是"]
  22. N[h,100]
复制代码

这儿有表可以查出来关系,但是我想要的是如何自救求解推导出来,
上面的代码列了方程,但是我自己求解不出来。
https://en.wikipedia.org/wiki/Platonic_solid

补充一张图供理解。
用一个平面剖正十二面体(这个平面经过正十二面体的中心),
然后使得两条五边形的棱正好在平面内,
正十二面体与平面的交线正好是个六边形,六边形有四个边是五边形的高,两个边是边长。
如图所示
QQ截图20181219110658.png
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 楼主| 发表于 2018-12-19 11:10:20 | 显示全部楼层
本帖最后由 mathematica 于 2018-12-20 09:57 编辑

\[\cos ^{-1}\left(\frac{2 R^2-4}{2 R^2}\right)+2 \cos ^{-1}\left(\frac{2 R^2-2 \sqrt{5}-6}{2 R \sqrt{R^2-1}}\right)-\pi=0\]
这个方程,反正我求解不出来,我只会用数值解,然后验算根。
直接用mathematica的Solve函数求解上面的方程,mathematica直接罢工求解不出来。
通过高精度数值解,然后由数值解得到解析解,解的结果是
\(\sqrt{\frac{3}{2} \left(\sqrt{5}+3\right)}=\frac{1}{2} \sqrt{3} \left(\sqrt{5}+1\right)\)
把上面的根带入上面的方程得到

\[-\pi +2 \cos ^{-1}\left(\sqrt{\frac{1}{6} \left(3-\sqrt{5}\right)}\right)+\sec ^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{5}}\right)\]
化简表达式结果就是0
有谁能有别的办法求解出半径出来?
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发表于 2018-12-19 12:48:17 | 显示全部楼层
mathematica万岁!
mathematica直接罢工,要求那么高干啥
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发表于 2018-12-19 12:48:52 | 显示全部楼层
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 楼主| 发表于 2018-12-19 13:02:57 | 显示全部楼层
lsr314 发表于 2018-12-19 12:48
正十二面体_百度百科
https://baike.baidu.com/item/%E6%AD%A3%E5%8D%81%E4%BA%8C%E9%9D%A2%E4%BD%93

我要的是如何求解出来,而不是引用别人的结果,结果我自己已经算出来了。并且给出了维基百科上面的结果
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 楼主| 发表于 2018-12-19 13:30:46 | 显示全部楼层
https://en.wikipedia.org/wiki/Regular_dodecahedron
利用上面的资源,
The orange vertices形成一个正六面体,然后假设顶点坐标分别是`(\pm1,\pm1,\pm1)`,一共是八个,
然后求出五边形的边长是$1/{sin54°}=\sqrt5-1$,而
由正六面体得到外接球的半径是$\sqrt{3}$,所以就能得出两者比例关系,
我还以为必须解方程才能得到外接球的半径呢
QQ截图20181219132546.png

点评

这个图,在 4# 给的链接里(百度百科)就有啊  发表于 2018-12-19 13:43
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发表于 2018-12-19 14:29:58 | 显示全部楼层
本帖最后由 hejoseph 于 2018-12-19 15:19 编辑

设棱长为 $a$,先求出二面角 $\theta$(用三面角第一余弦定理即可)和一个面的内切圆半径 $r_1$,内切球半径 $r$ 为
\[
r=r_1\tan\frac{\theta}{2}
\]
棱球(与各棱都相切的球)半径 $\rho$ 为
\[
\rho=r_1\sec\frac{\theta}{2}
\]
由此就能得外接球半径 $R$ 为
\[
R=\sqrt{\rho^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2}
\]

点评

内切球半径是多余的,你的办法很不错  发表于 2018-12-20 10:22
面的内切圆半径你应该知道怎么求吧  发表于 2018-12-19 15:31
三面角第一 余弦定理:https://baike.baidu.com/item/%E4%B8%89%E9%9D%A2%E8%A7%92%E4%BD%99%E5%BC%A6%E5%AE%9A%E7%90%86/7924737?fr=aladdin  发表于 2018-12-19 15:27
还是不怎么理解,  发表于 2018-12-19 15:27
正十二面体中,$\cos\theta=\frac{\cos 108^\circ-\cos^2 108^\circ}{\sin^2 108^\circ}$,$r_1=\frac{a}{2}\tan 54^\circ$,后面的套上面发的公式就可以了。  发表于 2018-12-19 15:22
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 楼主| 发表于 2018-12-20 10:16:28 | 显示全部楼层
hejoseph 发表于 2018-12-19 14:29
设棱长为 $a$,先求出二面角 $\theta$(用三面角第一余弦定理即可)和一个面的内切圆半径 $r_1$,内切球半 ...

现在明白你的意思了,你的办法也很不错,比我的办法好,不过没维基百科上的办法好
  1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
  2. a=1;(*假设a=1,不妨碍计算,但是有利于软件计算*)
  3. r1=FullSimplify[a/2*Tan[54Degree]]
  4. cos=FullSimplify[(Cos[108Degree]-Cos[108Degree]^2)/Sin[108Degree]^2]
  5. cos2=FullSimplify[Sqrt[(1+cos)/2]]
  6. rou=FullSimplify[r1/cos2]
  7. R=FullSimplify@Sqrt[rou^2+(a/2)^2]
复制代码


运行结果

$\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{2 \sqrt{5}}}$
$-\frac{1}{\sqrt{5}}$
$\text{Root}\left[5 \text{$\#$1}^4-5 \text{$\#$1}^2+1\&,3\right]$
$\frac{1}{4} \left(\sqrt{5}+3\right)$
$\frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{2} \left(\sqrt{5}+3\right)}$



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