想问一下高次剩余有没有类似二次剩余那样简单的，判断2是否是素数的高次剩余的方法

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对一般的k次剩余，如果想验证2是否是素数p=kq+1的k次剩余，只需要检查$2^q mod p$是否为1
而对二次剩余，我们有一个简单的知道对素数$p=1,7 mod 8$，2是$mod p$的二次剩余，而对$p=3,5 mod 8$，2是$mod p$的二次非剩余

想问一下在高次剩余里面有没有类似的结论
简单地试了一下：
http://oeis.org/A014752（所有使得2是素数p的三次剩余的p）

1. 19:08:04> a=aa=Vec(0,125);b=bb=Vec(0,64);c=cc=Vec(0,81);forprime(i=3,10000,if(i%3==1,if(1==Mod(2,i)^((i-1)/3),a[i%125]+=1;b[i%64]+=1;c[i%81]+=1,aa[i%125]+=1;bb[i%64]+=1;cc[i%81]+=1)))
   
2. 19:08:52> a
   
3. %108 = [1, 3, 3, 2, 0, 2, 1, 3, 2, 0, 3, 0, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 1, 0, 3, 1, 0, 2, 0, 2, 4, 3, 1, 0, 3, 3, 1, 1, 0, 1, 5, 4, 1, 0, 2, 3, 2, 3, 0, 2, 0, 3, 1, 0, 4, 3, 0, 3, 0, 2, 3, 2, 1, 0, 3, 2, 0, 3, 0, 3, 4, 1, 2, 0, 2, 1, 2, 3, 0, 1, 1, 3, 2, 0, 3, 3, 2, 2, 0, 1, 0, 5, 2, 0, 2, 2, 2, 1, 0, 3, 4, 4, 0, 0, 3, 1, 1, 3, 0, 1, 1, 1, 2, 0, 1, 1, 3, 2, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 2, 2, 3, 0]
   
4. 19:08:53> aa
   
5. %109 = [3, 4, 3, 6, 0, 4, 5, 3, 3, 0, 4, 5, 3, 3, 0, 3, 2, 3, 7, 0, 5, 5, 3, 0, 0, 3, 4, 2, 5, 0, 3, 6, 4, 5, 0, 5, 3, 2, 6, 0, 3, 1, 6, 4, 0, 3, 8, 4, 4, 0, 3, 3, 6, 4, 0, 6, 3, 6, 3, 0, 5, 4, 6, 2, 0, 3, 4, 4, 3, 0, 5, 4, 5, 5, 0, 6, 5, 2, 6, 0, 3, 3, 2, 5, 0, 3, 4, 3, 3, 0, 4, 7, 4, 6, 0, 3, 2, 2, 4, 0, 4, 3, 6, 2, 0, 4, 6, 7, 4, 0, 4, 6, 4, 4, 0, 5, 5, 6, 5, 0, 8, 2, 6, 4, 0]
   
6. 19:08:54> b
   
7. %110 = [6, 0, 4, 0, 4, 0, 4, 0, 8, 0, 7, 0, 4, 0, 6, 0, 4, 0, 5, 0, 7, 0, 7, 0, 7, 0, 8, 0, 4, 0, 7, 0, 5, 0, 5, 0, 7, 0, 6, 0, 3, 0, 9, 0, 9, 0, 6, 0, 7, 0, 6, 0, 7, 0, 7, 0, 7, 0, 7, 0, 10, 0, 7, 0]
   
8. 19:08:54> bb
   
9. %111 = [13, 0, 13, 0, 16, 0, 17, 0, 13, 0, 12, 0, 13, 0, 18, 0, 11, 0, 14, 0, 10, 0, 8, 0, 12, 0, 14, 0, 12, 0, 13, 0, 12, 0, 13, 0, 14, 0, 14, 0, 13, 0, 10, 0, 10, 0, 12, 0, 11, 0, 15, 0, 17, 0, 13, 0, 11, 0, 13, 0, 13, 0, 11, 0]
   
10. 19:08:55> c
    
11. %112 = [9, 0, 0, 6, 0, 0, 6, 0, 0, 11, 0, 0, 8, 0, 0, 7, 0, 0, 6, 0, 0, 8, 0, 0, 5, 0, 0, 5, 0, 0, 10, 0, 0, 10, 0, 0, 6, 0, 0, 7, 0, 0, 9, 0, 0, 8, 0, 0, 5, 0, 0, 6, 0, 0, 5, 0, 0, 8, 0, 0, 8, 0, 0, 9, 0, 0, 7, 0, 0, 5, 0, 0, 8, 0, 0, 9, 0, 0, 9, 0, 0]
    
12. 19:08:55> cc
    
13. %113 = [16, 0, 0, 17, 0, 0, 15, 0, 0, 17, 0, 0, 13, 0, 0, 15, 0, 0, 17, 0, 0, 17, 0, 0, 16, 0, 0, 19, 0, 0, 11, 0, 0, 13, 0, 0, 13, 0, 0, 16, 0, 0, 16, 0, 0, 13, 0, 0, 20, 0, 0, 13, 0, 0, 16, 0, 0, 16, 0, 0, 16, 0, 0, 9, 0, 0, 17, 0, 0, 18, 0, 0, 16, 0, 0, 11, 0, 0, 15, 0, 0]

复制代码

尝试借助计算机的计算力

1. a=aa=Vec(0,125*64*81);forprime(i=3,100000000,if(i%3==1,if(1==Mod(2,i)^((i-1)/3),a[i%(125*64*81)]+=1,aa[i%(125*
   
2. 64*81)]+=1)))

复制代码

然而仍然得不到像二次剩余那样好看的结果

所以我想问一下，高次剩余问题（比如三次剩余）之下，“2是否是p=kq+1的k次剩余”这个判断有没有比较简单的形式

lsr314

有的，高次互反律，代数数论的书里会有

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lsr314 发表于 2018-12-20 12:17
有的，高次互反律，代数数论的书里会有

简单翻了一下网上下载的几本书
写着“剩余”“互反律”的章节基本已经很靠后了
仔细啃一下，发现上面写的是研究$(a,b)\in \mathbb Q (\sqrt(d))$的性质
或许是因为我水平太差，并没有看到高次互反律的相关内容
能否说一下是哪本代数数论书的内容吗？

谢谢了：）

wayne

我也没看到好方法，不过代码写起来并不复杂。

1. Select[3 Range[1000] + 1, PowerMod[2, (# - 1)/3, #] == 1 &]

复制代码

得到：

1. {31, 43, 109, 127, 157, 223, 229, 277, 283, 307, 397, 433, 439, 457, \
   
2. 499, 601, 643, 691, 727, 733, 739, 811, 919, 997, 1021, 1051, 1069, \
   
3. 1093, 1327, 1399, 1423, 1459, 1471, 1579, 1597, 1627, 1657, 1699, \
   
4. 1723, 1729, 1753, 1777, 1789, 1801, 1831, 1933, 1999, 2017, 2047, \
   
5. 2089, 2113, 2143, 2179, 2203, 2251, 2281, 2287, 2341, 2347, 2383, \
   
6. 2671, 2689, 2701, 2731, 2749, 2767, 2791, 2833, 2917, 2953, 2971}

复制代码

lsr314

.·.·. 发表于 2018-12-20 13:04
简单翻了一下网上下载的几本书
写着“剩余”“互反律”的章节基本已经很靠后了
仔细啃一下，发现上面写 ...

wiki上看到几个链接：
三次的 https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_reciprocity
四次的 https://en.wikipedia.org/wiki/Quartic_reciprocity
高次的 https://en.wikipedia.org/wiki/Eisenstein_reciprocity
以及Artin互反律 https://en.wikipedia.org/wiki/Artin_reciprocity_law

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lsr314 发表于 2018-12-20 14:36
wiki上看到几个链接：
三次的 https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_reciprocity
四次的 https://en.wi ...

感谢：）