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[原创] 一个与内切圆有关的几何证明题

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发表于 2018-12-20 10:55:07 | 显示全部楼层 |阅读模式

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如图,D、E、F为内切圆与三边切点,X、Y、Z为内切圆与角平分线交点,求证:DX、EY、FZ交于一点。

1.jpg
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-12-20 11:53:31 | 显示全部楼层
本帖最后由 mathematica 于 2018-12-20 11:55 编辑

这个还真不会证明,
我发现AD BE CF也相交在一点,
我猜可以用解析几何的办法证明,
以B点为坐标轴原点,然后C点(1,0)
然后下面是很复杂的计算,我不会了

点评

AD BE CF共点可用塞瓦定理直接证明,交点叫做三角形的”热尔冈点“  发表于 2018-12-20 16:16
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发表于 2018-12-20 11:57:31 | 显示全部楼层
理论上用解析几何是一定能解决的,但是实际上估计计算非常复杂.
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2018-12-20 12:11:23 | 显示全部楼层
证出来了,交点是三角形DEF内心

点评

哈哈,一提“DEF内心“就”穿帮“了  发表于 2018-12-20 16:09
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-2-26 13:49:39 | 显示全部楼层
这个题目很好,收录之。
各点坐标可设为:
\[B = 0\]
\[C = 1\]
\[A = \frac{{(p + q)( - 1 + pq)( - 1 - p - q + pq)( - 1 + p + q + pq)}}{{( - 1 + p)p(1 + p){{( - i + q)}^4}}}\]
\[I = \frac{{i( - 1 - p - q + pq)( - 1 + p + q + pq)}}{{2p{{( - i + q)}^2}}}\]
\[D =  - \frac{{q( - 1 - p - q + pq)( - 1 + p + q + pq)}}{{p{{(1 + {q^2})}^2}}}\]
\[E = \frac{{( - 1 - p - q + pq)( - 1 + p + q + pq)( - 2p - q - 2ipq + {p^2}q + 2p{q^2})}}{{p{{( - i + p)}^2}{{( - i + q)}^4}}}\]
\[F = \frac{{q( - 1 - p - q + pq)( - 1 + p + q + pq)}}{{p{{( - i + q)}^4}}}\]
\[X = \frac{{( - 1 - p - q + pq)( - 1 + p + q + pq)( - p - q - ipq + p{q^2})}}{{( - 1 - ip)p{{( - i + q)}^4}}}\]
\[Y = \frac{{{q^2}( - 1 - p - q + pq)( - 1 + p + q + pq)}}{{p{{(1 + iq)}^3}(i + q)}}\]
\[Z = \frac{{( - 1 - p - q + pq)( - 1 + p + q + pq)( - i + p{q^2})}}{{p( - i + p){{(1 + iq)}^3}(i + q)}}\]
交点为
\[J = \frac{{q( - 1 - p - q + pq)( - 1 + p + q + pq)( - i - p - q - ipq + 2p{q^2})}}{{( - 1 - ip)p{{( - i + q)}^4}(i + q)}}\]
的确不是DEF的内心

点评

圆的四阶参数不懂  发表于 2021-2-28 20:15
这个参数表达属于圆的四阶参数有理分式表示.  发表于 2021-2-27 21:58
p,q是实参  发表于 2021-2-27 21:57
P和Q是什么点  发表于 2021-2-27 21:00
是哈  发表于 2021-2-26 16:11
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2021-2-26 16:30:11 | 显示全部楼层
圆心I可以被替换为圆内任意一点。

点评

那么这就太平凡了  发表于 2021-2-27 22:02
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发表于 2021-2-27 21:12:13 | 显示全部楼层
证明:圆心在单位圆上两条弦AB和CD所在直线的交点对应的共轭复数可以表示为\(\frac{a+b-(c+d)}{\left(ab-cd\right)}\)

对称的交点

对称的交点
手算可能也容易。

点评

是的  发表于 2021-3-1 11:38
也就是说二次曲线还有更一般的结论?  发表于 2021-2-28 20:16
这个构造属于二次曲线一般参数形式中的特例情形,自然是很方便的.  发表于 2021-2-27 21:56
手工计算非常容易,交点就是三角形XYZ的垂心。  发表于 2021-2-27 21:27
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发表于 2021-2-27 22:20:26 | 显示全部楼层
看看平凡的图,I被I'替换后的结果,不知道I'到J的映射是怎么样的一个映射
dp.png

点评

是的,所以也不需要圆心  发表于 2021-3-1 16:03
既然只涉及到相切相交,那么一般二次曲线都是成立的  发表于 2021-3-1 13:39
I'任意选择  发表于 2021-2-28 20:49
类似的点有多少个?  发表于 2021-2-28 20:30
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发表于 2021-3-1 17:41:05 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2021-2-27 22:20
看看平凡的图,I被I'替换后的结果,不知道I'到J的映射是怎么样的一个映射

XXXXX.jpg
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