没有数字的得数

王守恩

求证：

\(\D\frac{1}{0^2+1}+\frac{1}{1^2+1}+\frac{1}{2^2+1}+\frac{1}{3^2+1}+\frac{1}{4^2+1}+\cdots=\frac{e^{\pi}+\pi e^{\pi}+\pi e^{-\pi}-e^{-\pi}}{e^{\pi}+e^{\pi}-e^{-\pi}-e^{-\pi}}\)

mathematica

这样的问题不要发论坛上了，没人会证的，
真的太难了，又是拉马努金一样的等式，
看到就头疼

.·.·.

好歹把右边化简一下嘛……
Sum[1/(x^2 + 1), {x, 0, \[Infinity]}]
\(\frac{1}{2} (1+\pi  \coth (\pi ))\)
TrigToExp[1/2 (1 + \[Pi] Coth[\[Pi]])]
\(\frac{1}{2} \left(\frac{\pi  \left(e^{-\pi }+e^{\pi }\right)}{e^{\pi }-e^{-\pi }}+1\right)\)
证完

zeroieme

.·.·. 发表于 2018-12-30 21:37
好歹把右边化简一下嘛……
Sum[1/(x^2 + 1), {x, 0, \}]
\(\frac{1}{2} (1+\pi  \coth (\pi ))\)

1. FullSimplify[(\!\(
   
2. \*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(i = 0\), \(\[Infinity]\)]
   
3. \*FractionBox[\(1\), \(
   
4. \*SuperscriptBox[\(i\), \(2\)] + 1\)]\))==(E^\[Pi]+\[Pi] E^\[Pi]+\[Pi] E^-\[Pi]-E^-\[Pi])/(E^\[Pi]+E^\[Pi]-E^-\[Pi]-E^-\[Pi])]

复制代码

True
证完

wayne

特别眼熟，但记得kastin总结过，自己搜不动，就私下里问了kastin.，找到了链接，
参考kastin以前的帖子，高斯双伽马定理，还有， 一个代数方程根的级数解问题，求ψ(n/m)的公式问题
====
本题是The digamma function$\psi(x)$在$x=i$的虚部，即$\text{Im} \psi (i)=\sum _{n=0}^{\infty } \frac{1}{n^2+1}$
=====
还有小苏的文章，活用了欧拉著名的有失严谨而又不失风度的证明：　https://kexue.fm/archives/3680

－－

mathematica

.·.·. 发表于 2018-12-30 21:37
好歹把右边化简一下嘛……
Sum[1/(x^2 + 1), {x, 0, \}]
\(\frac{1}{2} (1+\pi  \coth (\pi ))\)

给你点一万个赞!

王守恩

mathematica 发表于 2018-12-31 11:07
给你点一万个赞!

无限=有限。请看：


     \(\D\frac{1}{e}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+0)!}{n!\ 1!\ (n-1)!}=\sum_{m=1}^{1}\frac{0!}{m!\ (1-m)!\ (m-1)!}=\frac{1}{1}\)

     \(\D\frac{1}{e}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+1)!}{n!\ 2!\ (n-1)!}=\sum_{m=1}^{2}\frac{1!}{m!\ (2-m)!\ (m-1)!}=\frac{3}{2}\)

     \(\D\frac{1}{e}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+2)!}{n!\ 4!\ (n-2)!}=\sum_{m=2}^{4}\frac{2!}{m!\ (4-m)!\ (m-2)!}=\frac{7}{8}\)

     \(\D\frac{1}{e}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+3)!}{n!\ 5!\ (n-2)!}=\sum_{m=2}^{5}\frac{3!}{m!\ (5-m)!\ (m-2)!}=\frac{17}{15}\)

     \(\D\frac{1}{e}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+4)!}{n!\ 7!\ (n-3)!}=\sum_{m=3}^{7}\frac{4!}{m!\ (7-m)!\ (m-3)!}=\frac{1961}{5040}\)

     \(\D\frac{1}{e}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+5)!}{n!\ 8!\ (n-3)!}=\sum_{m=3}^{8}\frac{5!}{m!\ (8-m)!\ (m-3)!}=\frac{19081}{40320}\)

     \(\D\frac{1}{e}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+6)!}{n!\ 10!\ (n-4)!}=\sum_{m=4}^{10}\frac{6!}{m!\ (10-m)!\ (m-4)!}=\frac{424051}{3628800}\)

     \(\D\frac{1}{e}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+7)!}{n!\ 11!\ (n-4)!}=\sum_{m=4}^{11}\frac{7!}{m!\ (11-m)!\ (m-4)!}=\frac{911693}{6652800}\)

     \(\D\frac{1}{e}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+8)!}{n!\ 13!\ (n-5)!}=\sum_{m=5}^{13}\frac{8!}{m!\ (13-m)!\ (m-5)!}=\frac{2628983}{98841600}\)

     \(\D\frac{1}{e}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+9)!}{n!\ 14!\ (n-5)!}=\sum_{m=5}^{14}\frac{9!}{m!\ (14-m)!\ (m-5)!}=\frac{241275029}{7925299200}\)

   

王守恩

王守恩 发表于 2019-1-15 14:23
无限=有限。请看：

这样说靠谱吗？心里没底，求助！

A,B是正整数。

\[\D\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+A)!}{n!\ (A+B)!\ (n-B)!}=e\sum_{m=B}^{A}\frac{A!}{m!\ (A+B-m)!\ (m-B)!}\]

补充内容 (2019-1-16 09:03):
错了！改一下，见 9 楼。

王守恩

王守恩 发表于 2019-1-15 20:16
这样说靠谱吗？心里没底，求助！

A,B是正整数。

8楼错了！改一下： A,B=0, 1, 2, 3, 4, 5,......
说明：
左边下标用 “0” 可以保证中间的等号是成立的
右边下标用 ”B“ 可以保证所用的项数是最小的
我们的目的很明确：
就想找一个项数是最少的算式来替代项数是无穷的算式。


     \[\D\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+A)!}{n!\ (A+B)!\ (n-B)!}=\sum_{m=B}^{A+B}\frac{A!}{m!\ (A+B-m)!\ (m-B)!}\]

王守恩

王守恩 发表于 2019-1-16 08:51
8楼错了！改一下： A,B=0, 1, 2, 3, 4, 5,......
说明：
左边下标用 “0” 可以保证中间的等号是成立 ...

对 9 楼的公式作简化。

我们的目标很明确：
就想找一个项数是最少的算式来替代项数是无穷的算式。

左边下标用 “0” 可以保证中间的等号是成立的
右边下标用 ”0“ 照样保证所用的项数是最小的

    \[\D\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+A)!}{n!\ (A+B)!\ (n-B)!}=e\sum_{m=0}^{A}\frac{A!}{m!\ (A-m)!\ (m+B)!}\]