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[灌水] 没有数字的得数

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发表于 2018-12-30 13:35:33 | 显示全部楼层 |阅读模式

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x
求证:

\(\D\frac{1}{0^2+1}+\frac{1}{1^2+1}+\frac{1}{2^2+1}+\frac{1}{3^2+1}+\frac{1}{4^2+1}+\cdots=\frac{e^{\pi}+\pi e^{\pi}+\pi e^{-\pi}-e^{-\pi}}{e^{\pi}+e^{\pi}-e^{-\pi}-e^{-\pi}}\)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-12-30 14:13:01 | 显示全部楼层
这样的问题不要发论坛上了,没人会证的,
真的太难了,又是拉马努金一样的等式,
看到就头疼

点评

都是人精,:)  发表于 2018-12-30 22:17
这种论调就是mathematica最擅长的啊:)  发表于 2018-12-30 21:43
明明这种问题就是mathematica最擅长的问题啊:)  发表于 2018-12-30 21:40
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-12-30 21:37:45 | 显示全部楼层
本帖最后由 .·.·. 于 2018-12-30 21:40 编辑

好歹把右边化简一下嘛……
Sum[1/(x^2 + 1), {x, 0, \[Infinity]}]
\(\frac{1}{2} (1+\pi  \coth (\pi ))\)
TrigToExp[1/2 (1 + \[Pi] Coth[\[Pi]])]
\(\frac{1}{2} \left(\frac{\pi  \left(e^{-\pi }+e^{\pi }\right)}{e^{\pi }-e^{-\pi }}+1\right)\)
证完

点评

谢谢 .·.·. !  发表于 2019-1-19 08:11
@mathematica 哪有这么夸自己的:)  发表于 2018-12-31 18:40
mathematica太牛逼了!  发表于 2018-12-31 11:08
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-12-30 21:48:21 | 显示全部楼层
.·.·. 发表于 2018-12-30 21:37
好歹把右边化简一下嘛……
Sum[1/(x^2 + 1), {x, 0, \}]
\(\frac{1}{2} (1+\pi  \coth (\pi ))\)
  1. FullSimplify[(\!\(
  2. \*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(i = 0\), \(\[Infinity]\)]
  3. \*FractionBox[\(1\), \(
  4. \*SuperscriptBox[\(i\), \(2\)] + 1\)]\))==(E^\[Pi]+\[Pi] E^\[Pi]+\[Pi] E^-\[Pi]-E^-\[Pi])/(E^\[Pi]+E^\[Pi]-E^-\[Pi]-E^-\[Pi])]
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True
证完
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-12-30 22:22:50 | 显示全部楼层
特别眼熟,但记得kastin总结过,自己搜不动,就私下里问了kastin.,找到了链接,
参考kastin以前的帖子,高斯双伽马定理,还有, 一个代数方程根的级数解问题求ψ(n/m)的公式问题
====
本题是The digamma function$\psi(x)$在$x=i$的虚部,即$\text{Im} \psi (i)=\sum _{n=0}^{\infty } \frac{1}{n^2+1}$
=====
还有小苏的文章,活用了欧拉著名的有失严谨而又不失风度的证明: https://kexue.fm/archives/3680

--

点评

谢谢 wayne!看了这么多天,总算看懂一点点了。  发表于 2019-1-17 16:25
非常不错的回答  发表于 2018-12-31 11:08
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-12-31 11:07:52 | 显示全部楼层
.·.·. 发表于 2018-12-30 21:37
好歹把右边化简一下嘛……
Sum[1/(x^2 + 1), {x, 0, \}]
\(\frac{1}{2} (1+\pi  \coth (\pi ))\)

给你点一万个赞!
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-1-15 14:23:10 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2019-1-15 14:53 编辑


无限=有限。请看:


     \(\D\frac{1}{e}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+0)!}{n!\ 1!\ (n-1)!}=\sum_{m=1}^{1}\frac{0!}{m!\ (1-m)!\ (m-1)!}=\frac{1}{1}\)

     \(\D\frac{1}{e}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+1)!}{n!\ 2!\ (n-1)!}=\sum_{m=1}^{2}\frac{1!}{m!\ (2-m)!\ (m-1)!}=\frac{3}{2}\)

     \(\D\frac{1}{e}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+2)!}{n!\ 4!\ (n-2)!}=\sum_{m=2}^{4}\frac{2!}{m!\ (4-m)!\ (m-2)!}=\frac{7}{8}\)

     \(\D\frac{1}{e}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+3)!}{n!\ 5!\ (n-2)!}=\sum_{m=2}^{5}\frac{3!}{m!\ (5-m)!\ (m-2)!}=\frac{17}{15}\)

     \(\D\frac{1}{e}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+4)!}{n!\ 7!\ (n-3)!}=\sum_{m=3}^{7}\frac{4!}{m!\ (7-m)!\ (m-3)!}=\frac{1961}{5040}\)

     \(\D\frac{1}{e}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+5)!}{n!\ 8!\ (n-3)!}=\sum_{m=3}^{8}\frac{5!}{m!\ (8-m)!\ (m-3)!}=\frac{19081}{40320}\)

     \(\D\frac{1}{e}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+6)!}{n!\ 10!\ (n-4)!}=\sum_{m=4}^{10}\frac{6!}{m!\ (10-m)!\ (m-4)!}=\frac{424051}{3628800}\)

     \(\D\frac{1}{e}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+7)!}{n!\ 11!\ (n-4)!}=\sum_{m=4}^{11}\frac{7!}{m!\ (11-m)!\ (m-4)!}=\frac{911693}{6652800}\)

     \(\D\frac{1}{e}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+8)!}{n!\ 13!\ (n-5)!}=\sum_{m=5}^{13}\frac{8!}{m!\ (13-m)!\ (m-5)!}=\frac{2628983}{98841600}\)

     \(\D\frac{1}{e}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+9)!}{n!\ 14!\ (n-5)!}=\sum_{m=5}^{14}\frac{9!}{m!\ (14-m)!\ (m-5)!}=\frac{241275029}{7925299200}\)

   






毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-1-15 20:16:09 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2019-1-15 14:23
无限=有限。请看:

这样说靠谱吗?心里没底,求助!

A,B是正整数。

\[\D\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+A)!}{n!\ (A+B)!\ (n-B)!}=e\sum_{m=B}^{A}\frac{A!}{m!\ (A+B-m)!\ (m-B)!}\]

补充内容 (2019-1-16 09:03):
错了!改一下,见 9 楼。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-1-16 08:51:42 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2019-1-16 09:53 编辑
王守恩 发表于 2019-1-15 20:16
这样说靠谱吗?心里没底,求助!

A,B是正整数。


8楼错了!改一下: A,B=0, 1, 2, 3, 4, 5,......
说明:
左边下标用 “0” 可以保证中间的等号是成立的
右边下标用 ”B“ 可以保证所用的项数是最小的
我们的目的很明确:
就想找一个项数是最少的算式来替代项数是无穷的算式。


     \[\D\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+A)!}{n!\ (A+B)!\ (n-B)!}=\sum_{m=B}^{A+B}\frac{A!}{m!\ (A+B-m)!\ (m-B)!}\]

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2019-1-17 16:21:40 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2019-1-17 16:55 编辑
王守恩 发表于 2019-1-16 08:51
8楼错了!改一下: A,B=0, 1, 2, 3, 4, 5,......
说明:
左边下标用 “0” 可以保证中间的等号是成立 ...



对 9 楼的公式作简化。

我们的目标很明确:
就想找一个项数是最少的算式来替代项数是无穷的算式。

左边下标用 “0” 可以保证中间的等号是成立的
右边下标用 ”0“ 照样保证所用的项数是最小的

    \[\D\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+A)!}{n!\ (A+B)!\ (n-B)!}=e\sum_{m=0}^{A}\frac{A!}{m!\ (A-m)!\ (m+B)!}\]
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