面积之比与点的位置无关的条件

manthanein

在坐标平面上，给定\(A_1\)、\(A_2\)、\(A_3\)……\(A_n\)这\(n\)个两两互不相同的点。

在线段\(A_1A_2\)上找一点\(B_1\)，使得\(\D\frac{A_1B_1}{A_1A_2}=\lambda_1\)
在线段\(A_2A_3\)上找一点\(B_2\)，使得\(\D\frac{A_2B_2}{A_2A_3}=\lambda_2\)
…………
在线段\(A_{n-1}A_n\)上找一点\(B_{n-1}\)，使得\(\D\frac{A_{n-1}B_{n-1}}{A_{n-1}A_n}=\lambda_{n-1}\)
在线段\(A_{n}A_1\)上找一点\(B_{n}\)，使得\(\D\frac{A_{n}B_{n}}{A_{n}A_1}=\lambda_{n}\)
\(\lambda_i\)均为常数（\(i=1,2,……,n-1,n\)）。

用\(S_1\)表示多边形\(A_1A_2A_3……A_n\)的面积。
用\(S_2\)表示多边形\(B_1B_2B_3……B_n\)的面积。
在两个多边形都不自交的前提下，问：什么情况下，\(S_2/S_1\)与\(A_1\)、\(A_2\)、\(A_3\)……\(A_n\)这\(n\)个点的坐标无关？

manthanein

记\(A_i\)坐标为\((x_i,y_i)\)
\(\D S_1=\frac{1}{2}\abs{(x_ny_1-x_1y_n)+\sum_{i=1}^{n-1} {(x_iy_{i+1}-y_ix_{i+1})}}\)

记\(B_i\)坐标为\((X_i,Y_i)\)
\(\D S_2=\frac{1}{2}\abs{(X_nY_1-X_1Y_n)+\sum_{i=1}^{n-1} {(X_iY_{i+1}-Y_iX_{i+1})}}\)

\(i=1,2,……,n-1\)时：

\(\D\frac{A_{i}B_{i}}{A_{i}A_{i+1}}=\lambda_{i}\)
\(\D \lambda_i\overrightarrow{A_iA_{i+1}}=(\lambda_ix_{i+1}-\lambda_ix_i, \lambda_iy_{i+1}-\lambda_iy_{i})\)
故：
\(X_i=\lambda_ix_{i+1}-\lambda_ix_i+x_i\)
\(Y_i=\lambda_iy_{i+1}-\lambda_iy_i+y_i\)

manthanein

\(X_iY_{i+1}-Y_iX_{i+1}\)

\(\D =(\lambda_ix_{i+1}-\lambda_ix_i+x_i)(\lambda_{i+1}y_{i+2}-\lambda_{i+1}y_{i+1}+y_{i+1})-(\lambda_{i+1}x_{i+2}-\lambda_{i+1}x_{i+1}+x_{i+1})(\lambda_iy_{i+1}-\lambda_iy_i+y_i)\)