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[讨论] 面积之比与点的位置无关的条件

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发表于 2019-1-1 14:54:55 | 显示全部楼层 |阅读模式

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在坐标平面上,给定\(A_1\)、\(A_2\)、\(A_3\)……\(A_n\)这\(n\)个两两互不相同的点。

在线段\(A_1A_2\)上找一点\(B_1\),使得\(\D\frac{A_1B_1}{A_1A_2}=\lambda_1\)
在线段\(A_2A_3\)上找一点\(B_2\),使得\(\D\frac{A_2B_2}{A_2A_3}=\lambda_2\)
…………
在线段\(A_{n-1}A_n\)上找一点\(B_{n-1}\),使得\(\D\frac{A_{n-1}B_{n-1}}{A_{n-1}A_n}=\lambda_{n-1}\)
在线段\(A_{n}A_1\)上找一点\(B_{n}\),使得\(\D\frac{A_{n}B_{n}}{A_{n}A_1}=\lambda_{n}\)
\(\lambda_i\)均为常数(\(i=1,2,……,n-1,n\))。

用\(S_1\)表示多边形\(A_1A_2A_3……A_n\)的面积。
用\(S_2\)表示多边形\(B_1B_2B_3……B_n\)的面积。
在两个多边形都不自交的前提下,问:什么情况下,\(S_2/S_1\)与\(A_1\)、\(A_2\)、\(A_3\)……\(A_n\)这\(n\)个点的坐标无关?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-1-1 17:07:17 | 显示全部楼层
记\(A_i\)坐标为\((x_i,y_i)\)
\(\D S_1=\frac{1}{2}\abs{(x_ny_1-x_1y_n)+\sum_{i=1}^{n-1} {(x_iy_{i+1}-y_ix_{i+1})}}\)

记\(B_i\)坐标为\((X_i,Y_i)\)
\(\D S_2=\frac{1}{2}\abs{(X_nY_1-X_1Y_n)+\sum_{i=1}^{n-1} {(X_iY_{i+1}-Y_iX_{i+1})}}\)

\(i=1,2,……,n-1\)时:

\(\D\frac{A_{i}B_{i}}{A_{i}A_{i+1}}=\lambda_{i}\)
\(\D \lambda_i\overrightarrow{A_iA_{i+1}}=(\lambda_ix_{i+1}-\lambda_ix_i, \lambda_iy_{i+1}-\lambda_iy_{i})\)
故:
\(X_i=\lambda_ix_{i+1}-\lambda_ix_i+x_i\)
\(Y_i=\lambda_iy_{i+1}-\lambda_iy_i+y_i\)




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 楼主| 发表于 2019-1-1 17:12:18 | 显示全部楼层
\(X_iY_{i+1}-Y_iX_{i+1}\)

\(\D =(\lambda_ix_{i+1}-\lambda_ix_i+x_i)(\lambda_{i+1}y_{i+2}-\lambda_{i+1}y_{i+1}+y_{i+1})-(\lambda_{i+1}x_{i+2}-\lambda_{i+1}x_{i+1}+x_{i+1})(\lambda_iy_{i+1}-\lambda_iy_i+y_i)\)
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