单密铺的问题

mathe

所以结论是如果我们用无穷个凸边形去无缝覆盖平面，这些凸多边形直径和面积分布在一个有限范围内，而且所有多边形边的数目不小于7，那么覆盖方案必然不存在

.·.·.

mathe 发表于 2019-1-5 21:42
不明白你的圆内部分面+点-棱

凸的用法只有一处
就是，每个点至少对应3条边
如果不凸，每一个点可以对应2条边，这就导致了八边形可以覆盖全平面

hujunhua

@.·.·.在5#提出的用两个相同的局部多边形缝成一个多面体的方案证明不了本题，问题校长在9#已经指出了。就是缝合线上可能存在可去顶点（只连接2条边的顶点）。我们仍然能证明缝合的多面体中必有一个面的边数不大于6，但这不导致矛盾，因为有些顶点被去掉了，其连接的两条边合成了一条边。

hujunhua

单密铺问题
这里有一段说到了为什么n要小于7. 但我觉得不够严格。

Why Can’t Convex Polygons With More Than Six Sides Tile the Plane?

Consider seven-sided heptagons, and, for simplicity, consider only vertex-to-vertex tilings (having vertices in the middle of edges only compounds the problem). The sum of the heptagon’s interior angles is 900 degrees, so the average angle is 900/7 degrees. Every vertex in a tiling has 360 degrees to divvy up between the corners that meet there, so, on average, 360/(900/7) = 2.8 heptagons would fit around each vertex. But since at least three heptagons have to meet at every vertex — otherwise it’s an edge — an average of 2.8 is impossible. The problem worsens as the number of sides of the convex polygon increases.

mathe

21#得出用无穷个凸7边形覆盖平面，如果不限定凸7边形的直径和面积分布在一个范围（也就是不可以无限小或无限大），那么这种平铺是可能的，现在给出一种例子
如图我们作出一批同心圆，然后将最内部的圆上取7点构成最内层的7边形。然后对于7个方向，每个方向扩大一层到第二层的圆周时，这层圆周分成的7份每份在将它分成4份
由此，在7二层我们可以作出7个凸7边形（而这时使用了第二层圆周上28个点）。同样第二层圆周的28个点继续向第三层的圆周扩张同样得到第三层上28个点，同样在第三层28个点的每两个点之间再插入三个点得出第三层圆周共7*4*4个点（图上之画出了$2/7$部分),可以得出28个凸7边形，继续这样扩张下去就可以将整个平面全部用无穷个凸7边形覆盖。

而这种方法如果我们保持所有相邻同心圆之间距离相等，那么凸7边形的直径分布范围是有限，但是越外层，凸7边形的面积会越小（可以看到凸7边形越来越薄），会以等比数列速度趋向0.
我们可以通过拉大外层同心圆之间的距离，使得越外层的同心圆之间的距离越远，使得凸7边形的面积尽量保持在一个固定的范围，但是这样会导致越外层凸7边形的直径越大，以等比数列的速度发散到无穷大。

hejoseph

我是认为.·.·.通过两个平面拓扑变形为球那个方法并不可行，如果可以，那么必定可以构造出所有面都是六边形的凸多面体，然而面全是六边形的凸多面体并不存在。

mathe

最短边不会减少的七边形平铺例子

hujunhua

单一凸五边形存在非常周期密铺，这是英文维基Pentagonal tiling - Wikipedia 上给出的三例放射状密铺。

hejoseph

谢谢各位的讨论，我线看看方法