哥德巴赫猜想在高斯整数环上的研究（标题很吓人，其实只是举了一个奇偶性的反例）

.·.·.

这是从知乎上看到的一个提问，问哥德巴赫猜想在其他整数环上面有没有类似的研究

有人回答，这个可以有……
顺便写了一下高斯整数环，把1-28都表示成了两个高斯素数的和，然而对于29，那个回答并没有给出栗子或者其不能表示成两个高斯素数的和的证明

事实上，29（以及其他一大类“奇数”）都不能表示成两个高斯整数的和.
（下面是提示）
1. 一个Gaussian整数 `\color{black}z` 的伴数指的是 `\color{black}{z,-z, iz,-iz}` 之一.
2. 一个Gaussian整数`\color{black}{z=a+bi}`的范数定义为`\color{black}{|z|^2=a^2+b^2}`, 简称`\color{black}z`的范。
3. 在Gaussian整数环中，除了范最小的素数 `\color{black}{1+i}` 及其伴数, 所有其它的高斯素数实部与虚部都是一奇一偶。
（下面是证明）
29不能表示成两个高斯素数的和
反证法。假定可以，即存在整数`\color{black}{a, b, c}` 使得`\color{black}{29=(a+bi)+(c-bi)}`
其中`\color{black}{a+c=29}`，由于`\color{black}b` 必与`\color{black}{a, c}`之一同奇偶，故作为Gaussian整数环中的素数，`\color{black}{a+bi}`与`\color{black}{c-bi}`之一必是素数`\color{black}{1+i}`的伴数。
而`\color{black}{29±1±i}`都是合数，故 29 不能表示成两个高斯素数的和。

hujunhua

高斯整数环中的“偶数”即能被1-i整除的高斯整数。所以对应的问题应是能被1-i整除的数能拆成两个高斯素数之和。
但是在高斯整数环中没有正数和负数的概念，和与差无别，如果无所限制的话，一个高斯“偶数”可拆的高斯素数对无穷多，问题就变得无趣了。
可有的限制条件比如要求两个相加素数的范数之和不大于高斯偶数的范数。

mathe

我们应该定义实部和虚部同奇偶的高斯整数为高斯偶数，所以应该判断哪些高斯偶数无法表示为两个范数小于它的高斯素数之和

hujunhua

我给的限制条件比mathe的限制条件窄一点，而@.·.·.在上面点评中链接的这篇文章，其中的限制条件就更严了，对于Gaussian整数它只限于复平面的第1象限，而且不含坐标轴。
即：每一个Gauusian偶数`a+bi(a>1,b>1)`都可写成两个Gaussian素数之和` (a_1+b_1i)+(a_2+b_2i)`, 其中`a_1,b_1,a_2,b_2`皆正。

hujunhua

对`a+bi=(a_1+b_1i)+(a_2+b_2i)`三种限制条件的异同：
不失一般性，可以限于`a\ge b\ge0`

各种限制条件都是为了限制实部和虚部名为加实为减的范围，以得到有限的拆分。

1、要求`a_1,b_1,a_2,b_2`皆非负，这个限制条件最强，在给定的两个正交方向不允许有减。这使得命题可能成立的范围受限，已知至少对于4m形的实偶数不能成立。

2、要求`(a_1^2+b_1^2)+(a_2^2+b_2^2)\le a^2+b^2`, 蕴含了两个相加素数在矢量三角形中的夹角不会小于90度（小于90度意味着矢量箭头回头）。这使得命题可能的成立范围包括了所有较大的Gaussian偶数。

3、要求`a_{1,2}^2+b_{1,2}^2\le a^2+b^2`, 这是几何上合理有趣的最宽限制了。这个限制蕴含了`a_1+b_1i`与`a_2+b_2i`在矢量三角形中夹角（内角）不会小于60度，或者说在原点的夹角不会大于120度。如果说两个数在原点的夹角越接近平角越显得正负反向（意味着相减），那么本条还是在一定程度上限制了反向。但当矢量三角形中的夹角小于90度时，看起来总是有所反向（箭头回头）。相较于2，命题的可能的成立范围相同。