是不是只有三维空间才有绕轴转动

mathematica

https://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_matrix
这儿的维基百科词条，
二维旋转其实是绕着z轴的，
三维旋转是绕着某根轴，
看词条没提到思维旋转矩阵，
是不是>3维就没旋转矩阵了？

.·.·.

你或许没听说过“正交矩阵”吧……

mathematica

当然听过，但是绕着轴转动，与正交矩阵是一回事吗？

mathe

绕轴可以用正交阵表示

mathe

首先在高纬空间，用绕轴转这个词来描述是不精确的。
就相当于在平面上，我们可以说绕一个点逆时针转30度，这是一个精确的描述。但是如果到了三维空间中，我们继续说绕一个点逆时针转30度，那么显然是不确定的。但是我们可以先限定在在个三维空间的一个平面上，在平面上先定义这个绕一个点逆时针转30度的动作，然后过这个不动点做这个平面的垂线，就可以把这个变换拓展到三维空间，让这个变换中这条垂线在变换中保持不变，变成绕这条垂线逆时针转30度。
如果我们继续想拓展到更高维，那么首先我们同样限定在一个平面上找一个绕点转固定角度的变换。但是这时，和三维空间不同，过这个点做这个平面的垂线不知有一条，而是无限条，我们需要让拓展以后的变换在这无限条垂线上都保持不变，变成了绕平面的垂直空间转固定的角度。

mathe

对于n维空间中的变换，在x-y平面旋转$\theta$,而和x->y平面垂直的方向都保持不变的变换矩阵是
$[(\cos(\theta),\sin(\theta),0,0,...,0,0),(-\sin(\theta),\cos(\theta),0,0,...,0,0),(0,0,1,0,...,0,0),(,,,,....,,),(0,0,0,0,...,1,0),(0,0,0,0,...,0,1)]$
所以对于一般情况，我们可以先通过正交变换T将我们目标平面变换为x-y平面，然后旋转，然后再逆变换回去，对应矩阵为
$T^-1[(\cos(\theta),\sin(\theta),0,0,...,0,0),(-\sin(\theta),\cos(\theta),0,0,...,0,0),(0,0,1,0,...,0,0),(,,,,....,,),(0,0,0,0,...,1,0),(0,0,0,0,...,0,1)]T$
这显然也是一个正交变换，其特征值有n-2个为1，余下两个为$\exp(i\theta),\exp(-i\theta)$,这就是绕轴变换的矩阵满足的性质
而这个T的计算其实很简单，首先它不是唯一的，我们可以
在目标平面上选择相互垂直的两个单位行向量$v_1,v_2$,然后在空间中选择另外$n-2$个行向量$v_3,...,v_n$和$v_1,v_2$一起构成标准坐标系。
那么取T为这n个行向量构成的矩阵即可

wayne

借这个题目 讨论一下 $n$维几何体与变换的关系。
如果$n$维几何体 和变换 我们都用矩阵表达。那么，讨论矩阵的数字特征以及矩阵之间的关系 是不是就可以讨论一切几何问题了。
比如$n=3$的时候，多面体的相似性，全等性，多面体的体积，面的个数，是不是只需要分析它的矩阵表达就足够了？
比如$n=2$的时候，多边形的相似性，全等性，多边形的面积。多边形的凹凸性，是不是也只需要分析它的矩阵表达就足够了？

mathe

如果矩阵A将几何体X变换为Y,那么的确两几何体之间的上述关系可以通过分析矩阵即可。