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[提问] 是不是只有三维空间才有绕轴转动

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发表于 2019-1-12 12:45:00 | 显示全部楼层 |阅读模式

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https://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_matrix
这儿的维基百科词条,
二维旋转其实是绕着z轴的,
三维旋转是绕着某根轴,
看词条没提到思维旋转矩阵,
是不是>3维就没旋转矩阵了?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-1-12 19:40:35 | 显示全部楼层
你或许没听说过“正交矩阵”吧……
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2019-1-12 19:50:07 | 显示全部楼层
当然听过,但是绕着轴转动,与正交矩阵是一回事吗?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-1-12 20:20:51 来自手机 | 显示全部楼层
绕轴可以用正交阵表示
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-1-12 20:33:43 | 显示全部楼层
首先在高纬空间,用绕轴转这个词来描述是不精确的。
就相当于在平面上,我们可以说绕一个点逆时针转30度,这是一个精确的描述。但是如果到了三维空间中,我们继续说绕一个点逆时针转30度,那么显然是不确定的。但是我们可以先限定在在个三维空间的一个平面上,在平面上先定义这个绕一个点逆时针转30度的动作,然后过这个不动点做这个平面的垂线,就可以把这个变换拓展到三维空间,让这个变换中这条垂线在变换中保持不变,变成绕这条垂线逆时针转30度。
如果我们继续想拓展到更高维,那么首先我们同样限定在一个平面上找一个绕点转固定角度的变换。但是这时,和三维空间不同,过这个点做这个平面的垂线不知有一条,而是无限条,我们需要让拓展以后的变换在这无限条垂线上都保持不变,变成了绕平面的垂直空间转固定的角度。
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发表于 2019-1-12 20:48:24 | 显示全部楼层
对于n维空间中的变换,在x-y平面旋转$\theta$,而和x->y平面垂直的方向都保持不变的变换矩阵是
$[(\cos(\theta),\sin(\theta),0,0,...,0,0),(-\sin(\theta),\cos(\theta),0,0,...,0,0),(0,0,1,0,...,0,0),(,,,,....,,),(0,0,0,0,...,1,0),(0,0,0,0,...,0,1)]$
所以对于一般情况,我们可以先通过正交变换T将我们目标平面变换为x-y平面,然后旋转,然后再逆变换回去,对应矩阵为
$T^-1[(\cos(\theta),\sin(\theta),0,0,...,0,0),(-\sin(\theta),\cos(\theta),0,0,...,0,0),(0,0,1,0,...,0,0),(,,,,....,,),(0,0,0,0,...,1,0),(0,0,0,0,...,0,1)]T$
这显然也是一个正交变换,其特征值有n-2个为1,余下两个为$\exp(i\theta),\exp(-i\theta)$,这就是绕轴变换的矩阵满足的性质
而这个T的计算其实很简单,首先它不是唯一的,我们可以
在目标平面上选择相互垂直的两个单位行向量$v_1,v_2$,然后在空间中选择另外$n-2$个行向量$v_3,...,v_n$和$v_1,v_2$一起构成标准坐标系。
那么取T为这n个行向量构成的矩阵即可

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2019-1-14 10:52:19 | 显示全部楼层
借这个题目 讨论一下 $n$维几何体与变换的关系。
如果$n$维几何体 和变换 我们都用矩阵表达。那么,讨论矩阵的数字特征以及矩阵之间的关系 是不是就可以讨论一切几何问题了。
比如$n=3$的时候,多面体的相似性,全等性,多面体的体积,面的个数,是不是只需要分析它的矩阵表达就足够了?
比如$n=2$的时候,多边形的相似性,全等性,多边形的面积。多边形的凹凸性,是不是也只需要分析它的矩阵表达就足够了?

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发表于 2019-1-14 12:37:57 | 显示全部楼层
如果矩阵A将几何体X变换为Y,那么的确两几何体之间的上述关系可以通过分析矩阵即可。
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